含参一元二次不等式的解法

朱远军

“分类讨论”是高中数学的重要思想之一，也是每年高考的必考内容.而含参一元二次不等式的解法是这一思想方法的具体体现，但同学们学起来难度很大，往往会出现解题思路乱，分类标准不清，写不出准确结果等现象.笔者愿以教学过程中对此类问题的思考与读者交流，以便同学们的学习和老师的教学.

笔者认为，此类型解法的基本思路和步骤与“数字型”的一元二次不等式的解法的思路和步骤是一样的.第一步，将其化为ax2+bx+c>0（或<0)；第二步，求判别式（或因式分解）；第三步，求根和确定两根大小，并利用相应的二次函数的图像写出解集.下面举例说明.

例1解关于x的不等式：x2-3x+2≤3ax-6a.

分析按“数字型”的解法的思路和步骤依次进行.

解原不等式等价于x3-3(a+1)x+2(3a+1)≤0，

Δ=9(a+1)2-8(3a+1)=(3a-1)2≥0，

相应的一元二次方程的根为x=3(a+1)±(3a-1)2，

即x1=3a+1，x2=2，x1-x2=3a-1.

（1）若3a-1<0，即a<13时，x1

（2）若3a-1=0，即a=13时，x1=x2.

此时，原不等式化为x2-4x+4≤0，∴x=2.

（3）若3a-1>0，即a>13时，x1>x2，此时2≤x≤3a+1.

综上所述，当a<13时，解集为{x|3a+1≤x≤2}；

当a=13时，解集为{2}；

当a>13时，解集为{x|2≤x≤3a+1}.

点评1鄙鲜鼋夥ǖ谝弧⒍步与“数字型”的思路完全一样，只是第三步在求出根时，由于两根大小与a的取值有关，故用x1-x2的值大于（等于或小于）0来确定两根大小并求出相应的a的范围，最后根据相应的二次函数的图像写出解集.

2鄙鲜銮蟾时，也可用“十字相乘法”因式分解求得.

例2解关于x的不等式axx-1<1.

2庇捎诙次项系数含参数a，看似很复杂，但整体上只分两类a=1（一元一次不等式）和a≠1（一元二次不等式）.

3痹诘诙类a≠1中，由x1，x2的大小关系分了三类并求出相应的a的范围，根据a的范围再考虑二次项系数的符号，根据相应的二次函数的图像写出解集.

4痹赼≠1的①类中，又分两类，主要是因为a<0或a>1时，虽然都有x2

5薄白凵纤述”这一步是为了让结果更加清晰、集中，最好是按a的取值大小从左到右写出，这样思路更清晰.

总之，含参型一元二次不等式的解法，首先要按“数字型”一元二次不等式的解法的基本思路和步骤进行，在此基础上，要确定两根的大小，由此算出相应参数的范围，再由参数的范围确定二次项系数的符号，最后写出相应的解集.