正射影像图坐标转换快速方法探讨

华亮春 陈学工 刘智勇

摘要：本文在分析常用正射影像图坐标转换模型的基础上，提出了使用仿射变换来模拟复杂、计算量大的影像图坐标转换，在保证精度的前提下提高转换速度，具体阐述了转换基本思路、九点法误差控制方法和算法流程。

关键词：正射影像图；快速坐标转换；仿射变换；平面四参数

随着航空航天遥感技术和计算机技术的发展，影像图的空间分辨率越来越高，数据内容越来越丰富，数据量日益庞大，常规的逐像素重采样转换速度势必太慢，而分图幅或者分区块平移又不能满足精度要求。本文将就影像图坐标转换基本理论和快速转换方法进行阐述和分析。

1影像图坐标转换模型

测绘成果坐标转换包括几何变换和投影变换两种类型，其中几何变换多为二维坐标系，三维高程一般要归化到椭球体和抵偿面来考虑；投影变换是基于椭球体参数严密的空间坐标变换，包括投影正算和投影反算。影像图坐标系统一般为平面坐标系统，其坐标转换模型为二维坐标转换模型，常用的模型有以下几种：

1.1 二维七参数模型

二维七参数模型是基于椭球体严密的坐标转换模型，包括三个平移参数、三个旋转参数和一个尺度参数，适用如全国和省级大区域范围不同椭球体坐标系统间坐标转换，具体公式如下：

（1）

其中：

同一点位在两个坐标系下的纬度差、经度差，单位为弧度，

椭球长半轴差（单位为米）、扁率差（无量纲），

平移参数，单位为米，

旋转参数，单位为弧度，

m 尺度参数（无量纲）。

1.2 平面四参数模型

平面四参数模型是一种基于二维平面综合缩放、旋转和平移三种几何变换的坐标转换模型，其特点是不改变原图形的几何形状，适用于范围不大的局部区域坐标系统间坐标转换，具体公式如下：

（2）

其中：为平移参数，α为旋转参数，m为尺度参数。

1.3 仿射变换模型

仿射变换模型和平面四参数模型都是基于二维平面的几何变换，区别在于平面四参数在X和Y方向缩放比例是一致，是整体性的几何变换，而仿射变换的缩放比例在X方向和Y方向是不同的。如果设s=1+m,将平面四参数公式（2）展开如下：

（3）

设X方向缩放比例为s1，Y方向缩放比例为s2，则公式3变为：

（4）

设则公式4变为典型的仿射变换公式：

（5）

从上述推导过程看，显然平面四参数是仿射变换的一种特例，如果原坐标系统和目的坐标系统的公共点存在系统误差或者局部形变，使用平面四参数转换公共点会产生较大间隙，这时使用仿射变换就更为适合。仿射变换一般用于纠正原始图形图像中存在的误差、纠正扫描图纸产生的变形。

1.4 多项式逼近模型

多项式逼近模型采用曲面形态来模拟两个坐标系统之间坐标点的映射关系，通过若干已知点对采用最小二乘法求解多项式参数，确定曲面起伏形态，求解原坐标值所对应的目标坐标值。二次多项式变换是最常用的一种多项式变换，其公式如下：

（6）

平面四参数模型和仿射变换模型实质都是线性转换,如果两个坐标系之间局部性系统误差或形变较为明显时,采用二次或者高次多项式逼近则更为精确，能够消弱两坐标系统之间的旋转、平移和地球椭球参数不同引起的误差, 可以满足更高的精度要求。从理论上讲,只要选择适当的多项式阶数和系数, 就可以逼近到任意的程度, 并且保证点与点之间一一对应的可逆连续转换的特性。

2影像图坐标快速转换方法

2.1 基本思路

正射影像图的数据主体是一种行列式格网结构体，行列式矩阵结构的特点就是其坐标是按行列以固定值增量变化的，并且对于正射影像图来说，X方向和Y方向坐标变化量是一般相同的。基于这一特点我们可以找一个计算速度快的简单坐标转换公式替代计算速度慢的复杂公式。如果单个图像范围过大，可以考虑对原图像按1/4进行矩形划分后逐区域进行转换。这种快速的坐标转换公式需要满足以下3个条件：

（1）目的x＇坐标或者y＇坐标的变化对于原X坐标和Y坐标的影响是一固定值。设影像地面分辨率为g,a、b、c和d为固定数值，则应满足如下条件公式：

（7）

（2）满足接边精度要求，即分区进行影像图坐标变换能够保证边界上的连续性；

（3）满足影像图坐标转换平面精度要求。

设， 则公式（3）变为平面四参数的线性化形式：

（8）

设kp=k1*k1+k2*k2,则得出公式8的逆向公式9，用于由目的标坐标计算原坐标。

（9）

将公式（9）套入公式（7）中，显然满足条件1的要求。类似推导，易得出仿射变换也满足条件1的要求。

仿射变换具有“保持共线三点的单比不变”等性质，能够保证图像在分区边界上保持原来的连续性，所以能够保证满足接边精度要求。平面四参数是仿射变换的一种特例，自然具有相同的性质，也能够满足接边精度要求。

是否能够满足条件（3），需要通过具体计算进行精度评估。当图像区域范围过大以至于不能满足精度要求时，可以采用矩形分区逐步缩小范围的方式解决。具体来说可以采用如图1所示的4+5九点法进行参数计算和精度评估，使用原复杂的坐标转换模型可以计算出高精度的9个同名点坐标对，其中区域四角4个实心黑点用于系数求解，另外中心和四边5个空心点用于精度评估。如果这5个点的两种模型计算出的坐标差值都在精度范围内则表示满足精度要求，反之则不满足。

2.2 坐标转换算法流程

采用4+5九点法进行参数计算和精度评估，其中参数计算可以采用最小二乘法求解，求出影像图坐标转换分区范围。一般来说，如果是标准分幅的影像图，单幅图范围完全能够满足精度要求。下面便以平面四参数转换公式为例，采用自然语言描述分区或者分幅影像图的快速坐标转换算法流程如下：

（1）计算目的图像的范围，采用与原图像相同的地面分辨率,计算出其行数->nrow,列数->ncol,计算目的图像左上角在原影像图坐标系中的坐标tx,ly；

（2）应用公式（9）和公式（7），计算出ag、bg、cg、dg的值；

（3）i = 0；

（4）lx->x, ty->y；

（5）j = 0；

（6）采用双线性插值法从原图像中内插出目的图像位于i行j列位置的像素值；

（7）j+1->j, x+bg->x, y+dg->y；

（8）如果j小于ncol,转到步骤6执行，否则转到步骤9执行；

（9）i+1->i, lx+ag->lx, ty+cg->ty；

（10）如果i小于nrow, 转到步骤（4）执行，否则,算法结束。

从上述过程中可以看出除了前2步涉及到一次复杂的坐标计算外，其余的步骤都是采用简单的加法运算代替坐标计算，必然能够大幅提高程序的运算速度。

3实验分析

本文选取东经111°～114°、北纬27°30′～28°30′间的区域为实验区（图2），在该区域选取18幅1:1000影像图，影像图地面分辨率为0.1米，标准的50cm×50cm矩形分幅，其中左边图1～9的中央子午线为111°，其余右边图10～18的中央子午线为114°。现要将这18幅都换带为112°30′，分别采用常规高斯投影正反算和平面四参数模拟的投影换带的方式进行坐标转换，比较两种方式的计算精度和运行时间，具体结果见表1。

在使用平面四参数模拟投影换带进行影像图坐标转换时，通过表1中的数据我们可以得出以下结论：

（1）模拟精度高且误差分布均匀。18幅图九点法解算系数的最大较差、全图范围最大较差和中误差这3列中的最大误差值均优于1/200像素，精度非常高，且从表中我们可以看出18幅图各项误差值的变化非常小，说明误差分布很均匀。

（2）平面四参数模拟法提高计算速度在千倍以上。

（3）18幅图“全图范围最大较差”都小于“九点法精度评估最大较差”,从实例证明九点法精度评估能够预计全图坐标转换的误差范围，保证影像图坐标转换的精度。

4结语

本文阐述了使用仿射变换（包括平面四参数）分幅分区模拟计算量大复杂的影像图坐标转换的原理和方法,并通过实例分析证明这种模拟方法能够极大提高计算速度；九点法精度评估能够准确计算转换系数和预计全图坐标转换的误差范围，保证影像图坐标转换的精度。但是由于实际情况多样性和复杂性，本方法不一定适用于模拟所有的复杂坐标转换，实际使用时需要进行分析计算来评估是否适用。