对导数概念教学的思考

赵正强

摘要： 数学概念是构成数学知识体系的基本元素，概念的形成过程能够体现数学知识来源于生活，是生活的高度抽象概括，是学生知识发展的源泉，同时对于培养学生认知能力、归纳推理等思维能力有着重要意义。数学教学中应摒弃机械系记忆概念的教学法，重视概念的产生背景及生成过程，使学生自然而然地产生概念，应用概念，在探索中发现、发展、创新地应用概念。

关键词： 中学数学教学导数概念教学

选修1-1中有一道习题：“水波的半径以50m/s的速度扩张，当半径为250cm时，水波面的圆面积的膨胀率是多少？”本题学生拿到后感到很困惑，无从下手，似乎与本节内容无关，原因是水波半径以50cm/s速度度扩张与圆面积的膨胀率之间关系，学生想不到，水波半径扩张速度与水波圆面积膨胀率相对于哪一个变量（时间t），更是想不透。这两个问题充分体现了导数概念教学的重要性，体现了导数的产生过程：平均变化率—瞬时变化率—导数。

概念教学往往容易被忽视，一些师生认为掌握解决问题的工具和方法就够了，忽视了数学学习的过程就是不断建立各种数学概念的过程。高中新课程标准指出：“发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。”而要实现这一目标就要求数学教育工作者在教学过程中让学生经历探索、发现和反思的过程，而不是将单一的知识，纯粹的技巧和方法硬性地塞给学生，再通过机械重复的劳动去强化。这种做法大大抹杀了学生学习的创造性和主动性，也违背了数学学习的目标和宗旨，不符合新课程改革的精神，是极不可取的。

下面笔者就导数概念教学谈谈自己的看法。导数是抽象的概念，经历平均变化率到瞬时变化率到导数的概念，使学生了解导数的概念的实际背景，体会导数思想及其用法。首先构建平均变化率的概念，列举我们日常生活中息息相关的实例，如：登山、游览车、气温变化等。这些实例学生都有生活经验和实际感受，登山在某段陡峭的山路爬山的感觉比较吃力，游览车从高处向下时人会感到惊险刺激，这些现象体现了变化速度比较快，从而引出了平均变化率的概念，显得自然且学生易懂。平均变率是一个量的增量与另一个增量的比值，是两个变量增量之间的比值，这个比值的绝对值的大与小，体现变化速度的快与慢。再回到教材，既然是变量的关系，就可利用函数数学工具进行研究，通过图像直观地体会平均变化率，最后通过量化计算平均变化率。回到登山问题，山势陡峭时为何感到吃力，原因是高度变化量与水平距离的变化量比值大，也就是平均变化率大。同样可以用平均变化率来解释游览车、气温变化等问题。体现教学源于生活、高于生活、服务于生活的理念。

平均变化率是引出导数的重要铺垫。先通过大量的实际应用实例，如速度、膨胀率、效率、增长率来理解平均变化率，再引导学生发现平均变化率的粗糙而不精确性。如何才能够精确地表达某一位置变化率呢？由此引入瞬时变化率。瞬时变化率事实上就是极限的思想，学生没有这部分知识，如何用初等数学语言准确表达这一过程呢？我们采取无限逼近的思想，自变量增量无限趋近于零，但不等于零时，平均变化率趋向的那一个值。如位移对于时间的瞬时变化率就是速度，速度对于时间的瞬时变化率就是加速度。在教学过程中注重几何直观，反复用图形去认识和感受瞬时变化率，使学生学会数学思考，认识概念的本质，同时培养学生的数形结合思想。学生对瞬时变化率认识清晰后，导数概念就不难理解了。通过这样的教学过程，学生对导数的数学本质有了深刻的认识，它不只是深奥的理论，而是实际生活的提炼，体现数学来源于生活而服务于生活，感受学习数学的意义，从而更加热爱数学。

由平均变化率到瞬时变化率到导数概念这样一个自然流程，把微积分内容变得简单化，易于理解。这是新课程改革的一大成就，是成功的数学概念教学法。在导数概念教学后再来研究本篇开头的习题，自然就不难了。水波半径以50cm/s过度扩张的是水波半径对于时间的瞬时变化率，而水波半径与面积具有函数关系，而要求的水波圆面积膨胀率就是水波圆面积对于时间的瞬时变化率，从而建立了膨胀率与水波半径扩张速度之间的关系。这个问题在概念的指引下轻松地得到了解决。这样的问题教材涉及很多，解法大致相同。

数学的概念教学是教学中的难点，高中数学必修1中还有一些抽象的概念，如函数的概念，函数单调性的概念等，使高一学生感到非常困惑，好多学生因此数学成绩一落千丈。关键是教师没有认真地研究概念教学法，对生活中函数实例不重视，不是从实例中抽象出函数的概念，没有抓住概念的本质，而是将概念硬塞给学生，这样学生在解决问题时自然就无从下手。还有，要对复杂的概念给予分解，比如函数的单调性可分解为：一个大前提加上三句话。大前提是函数的定义域，三句话是：（1）定义域子区间I上任取x，x，且x