巧设直线方程x=ty+m

周艳军

直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了解析几何中直线、圆锥曲线两部分的知识内容，还涉及函数与方程、不等式、向量、平面几何、数列等许多知识，是高考命题的重点和热点.此类考题综合性极强，能力要求也极高，其中计算能力的要求尤为重要，因此我

们除了平时要注意计算能力的训练外，还需注意优化解题过程.

通常情况下我们把直线方程一般设成点斜式、斜截式，但有时我们把直线设成x=ty+m的形式会大大地减小计算量.那么什么时候适合把直线设成x=ty+m的形式呢？

1.当圆锥曲线是抛物线y2=2px时，把直线设成x=﹖y+猰的形式可以使计算更简捷

例1 在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k的取值范围.

解 设点B,C关于直线y=kx+3对称，由题意知直线BC的斜率不为0,

因此可设直线BC方程为：x=-ky+m.

代入y2=4x，整理得：y2+4ky－4m=0，①

设B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC中点为M(x0，y0)，

则y0=(y1+y2)=－2k，x0=2k2+m，

∵点M(x0，y0)在直线y=kx+3上，

∴－2k=k(2k2+m)+3.

∴m＝－1[]k(2k3+2k+3).②

又 ∵直线BC与抛物线交于不同两点,

∴①式的Δ=16k2+16m>0,把②式代入化简得：

（k+1)·(k2-k+3)[]k<0，解得：－1

点评 本题把直线设成x=-ky+m使得直线和抛物线联立得到的方程①简洁,从而后续计算也变简洁,若把直线BC方程设成y=-1[]kx+m,则计算量会增大.

2.当直线过x轴上某一定点M（m，0）,且题中涉及以M点为端点的向量相等时，把直线设成x=ty+m，也有助于减小计算量

例2 （2010全国卷2理）已知椭圆C:x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)的离心率为3[]2，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点．若〢F=3〧B，则k=().

獳.1B.2C.3D.2

解 因为是求值，且是选择题，由椭圆的离心率为3[]2可取椭圆方程为x2[]4+y2=1，

由题意知直线的斜率不可能为0,因此可设直线方程为x=ty+3，

联立消去x，得(t2+4)y2+23ty-1=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理有

y1+y2=-23t[]t2+4，y1y2=-1[]t2+4，①

由〢F=3〧B，得(3-x1，-y1)=3(x2-3,y2)，②

则-y1=3y2，代入①中可得t=2[]2，

所以k=2.故选獴.

点评 本题把直线设成x=ty+3，联立消元后得到一个关于y的一元二次方程，而由②式可得到两个等式3-﹛1=3(x2-3）和-y1=3y2，显然选择后者关系简单得多，因此大大地减小了计算量.

3.当直线过x轴上某一定点M（m，0）,且直线的斜率不可能为零,但又可能不存在时,把直线设成x=ty+m，不但可以减小计算量,而且可避免讨论斜率不存在的情况,从而简化解题过程

例3 （2010湖北理）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.

(Ⅰ)求曲线C的方程；

（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有〧A·〧B<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

解 （Ⅰ）设P(x,y)是曲线C上任意一点，那么点P(x,y)满足：

(x-1)2+y2-x=1(x>0).

化简得y2=4x(x>0).

（Ⅱ）设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).

设l的方程为x=ty+m，

由x=ty+m,

y2=4x

得y2-4ty-4m=0，Δ=16(t2+m)>0.

于是y1+y2=4t,

y1y2=-4m.①

又 〧A=(x1-1,y1),〧B=(x2-1,y2).

〧A·〧B<0(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+﹛2)+1+y1y2<0.②

又 x=y2[]4，于是不等式②等价于

y21[]4·y22[]4+y1y2-y21[]4+y22[]4+1<0.

(y1y2)2[]16+y1y2-1[]4［(y1+y2)-2y1y2］+1<0.③

由①式代入不等式③化简得:m2-6m+1<0.④

对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1<0，即3-220,

由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)，且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有〧A·〧B<0，且m的取值范围是(3-22,3+22).

总之,当我们在解决直线和圆锥曲线的有关问题时,除了平时要训练自己扎实的计算能力外,还要注意仔细读题,择优解法,力争达到事半功倍的效果.但当把直线设成x=ty+m时,由于此时不包含斜率为0的情况,因此解题时要注意检验,防止漏解,导致解题不严谨.