互耦条件下均匀线阵DOA盲估计

胡增辉 朱炬波 何 峰 梁甸农

①(国防科学技术大学电子科学与工程学院 长沙 410073)

②(国防科学技术大学理学院 长沙 410073)

③(酒泉卫星发射中心 酒泉 732750)

1 引言

经典的高分辨波达角(DOA)估计算法，如MUSIC[1]算法，其高精度通常是建立在导向矢量精确已知的基础上。在阵元间存在互耦等情形下，经典的 DOA算法通常性能恶化非常严重，甚至是完全失效。而在实际测向系统中，阵元间互耦等因素是必须考虑的问题。因此，互耦条件下 DOA估计一直是阵列信号处理的难点与热点问题[2-17]。

早期的研究中，互耦的校正和补偿通常是通过硬件实现的，如增加互耦精确已知的校正阵元，或采用低互耦的阵列单元。然而，这类方法在许多应用场合中不易实现，且成本相对较高，精度可能也并不是很高。随后的研究逐渐将互耦的补偿和校正转化为一个阵列参数估计问题，其基本思想是将DOA和互耦系数进行联合估计[2,4]。

均匀线阵在 DOA估计中有着广泛的应用，过去二十多年间，国内外学者提出了许多互耦条件下的均匀线阵DOA估计方法[2-4,6-9,11,12,16,17]。然而，很多算法需要进行多维搜索或多参数优化[2,4]，全局收敛性无法保证；或所需的阵元数目非常大[8]；或只能应用到互耦系数较少(相对于阵元数)的情形[6,8]等等。

基于盲源分离[18,19]方法和均匀线阵互耦矩阵为带状、对称 Toeplitz[2,3]的特性，本文提出一种新的互耦条件下均匀线阵 DOA估计算法。算法通过盲源分离方法实现广义阵列流形矩阵估计，利用互耦矩阵为带状对称Toeplitz矩阵的特性，将DOA估计问题转化为多个可分离非线性最小二乘问题，无需进行互耦系数的估计，直接通过1维频域峰值搜索得到 DOA的估计。与现有算法相比，新算法对互耦系数的个数约束条件更少，当 DOA相邻比较近时，分辨性能更好。

2 信号模型及假设

考虑p个独立窄带平稳信号入射到一均匀线阵，波达角分别为θ1,…,θp, -π/2 ≤θ≤π/2。均匀线阵由N个阵元组成，相邻阵元间距为d,d≤λ/ 2，其中λ为信号波长。

假设阵元间的互耦自由度为L(即两个阵元间间距大于(L-1)d时，互耦系数为0)，互耦矩阵第1行的非零元素分别记为。由文献[2,3]可知，均匀线阵的互耦矩阵C可建模成为一带状、对称Toeplitz矩阵：

考虑互耦时，以第1个阵元为参考点，阵元输出信号可以表示为

式中x(t)= [x1(t),…,xN(t)]T,s(t)= [s1(t),…,sp(t)]T和n(t)= [n1(t),…,nN(t)]T分别表示阵列输出信号矢量、源信号矢量和噪声矢量，上标T表示转置算子。A= [a(θ1),…,a(θp)]为阵列流形矩阵，a(θk)为第k个源信号对应的导向矢量，1≤k≤p。

记G=CA，式(2)可以简化为

称G=CA为广义阵列流形矩阵。显然，G包含了所有互耦系数和波达角的信息。

本文，为了从阵列输出信号x(t)中得到波达角θ1,…,θp的估计，我们对信号模型作如下假设：

(1)源信号s1(t),…,sp(t)是相互统计独立的远场窄带平稳信号，最多有一个源信号为高斯信号。

(2)噪声为加性复高斯白噪声，噪声与信号是相互统计独立的。

(3)阵元数N，源信号数p，互耦矩阵自由度L之间满足如下关系：N＞p,N＞L。源信号数p和互耦矩阵自由度L均为已知的。

(4)阵列流形矩阵A是列满秩的，或者说，1≤i≠k≤N时，θi≠θk。

3 波达角估计算法

3.1 基于盲源分离的广义阵列流形矩阵估计

由模型式(4)及信号模型假设，我们可以首先通过盲源分离(或独立成分分析)[18,19]方法得到广义阵列流形矩阵G的估计。由于信号模型式(4)为线性瞬时混合模型，本文只考虑线性瞬时混合盲源分离。

盲源分离(或独立成分分析)是上世纪80年代发展起来的一种信号处理方法，是当前信号处理领域中的热点课题。其基本思想是利用源信号的统计特性(非高斯性，独立性，非负、稀疏性等)，在混合过程未知的情形下，实现源信号的分离(和/或混合矩阵的估计)。

独立成分分析是盲源分离的重要组成部分，也是迄今为止发展最为成熟的。独立成分分析利用源信号的非高斯性和独立性，实现源信号的分离和混合矩阵的估计。其基本处理流程是利用优化算法，寻找某个混合矩阵，使得经矩阵作用后的输出信号互信息最小。或者利用高阶累积量或时延协方差矩阵，通过多个矩阵的联合近似对角化实现混合矩阵的估计。

盲源分离(独立成分分析)在阵列信号中有着广泛的应用[20,21]。线性瞬时混合盲源分离(独立成分分析)模型和式(4)一致，利用源信号的相互统计独立特性，可首先利用独立成分分析算法，如 JADE[22]或复数 FastICA[23]算法，实现广义阵列流形矩阵G的估计。

本节，我们以 JADE(Joint Approximate Diagonalization of Eigenmatrices)算法为代表，简单介绍独立成分分析算法。JADE算法通过对一组高阶累积量矩阵的联合近似对角化，实现混合矩阵和/或源信号的估计。

对于式(4)所表示的线性瞬时混合模型x(t)=Gs(t)+n(t)，定义如下的高阶累积量矩阵：

式中xi和x分别表示xi(t)和x(t)，为表示方便，省略参数t。表示xk的共轭，上标H表示转置共轭算子，E{x}表示随机变量x的期望。

在源信号相互统计独立且非高斯，加性噪声为高斯噪声且与源信号统计独立的假设下，式(5)中矩阵Fik具有如下形式：

如式(6)所示，N(N+ 1 )/2个矩阵Fik具有相似的结构，可以通过联合近似对角化技术（Joint Approximate Diagonalization, JAD）得到混合矩阵A的估计，这就是JADE算法的基本思想。除基于高阶累积量矩阵联合近似对角化实现混合矩阵A估计外，还有许多其它的联合近似对角化算法，如基于一组时延协方差矩阵的联合对角化等。限于篇幅，在此不一一介绍。

理想情况下，利用盲源分离方法，广义阵列流形矩阵G的估计具有如下形式

式中P为p×p维的置换矩阵，Λ为对角线元素非零的对角矩阵，Λ= d iag{λ1, …,λp}。P和Λ分别对应于盲源分离算法的顺序和尺度不确定性。

3.2 DOA估计

上节，通过盲源分离方法，得到了广义阵列流形矩阵G的估计。记的第k列为1≤k≤p。

由于置换矩阵P的存在，下标k和m并不一定相同。由式(7)可以看到，的每一列只与某一个波达角θm有关。

由文献[2]的结论，Ca(θm)可以重新写为如下形式：

其中

式中T( :,1:L)表示由矩阵T的第1到第L列组成的矩阵。T1(p,q)表示T1第p行第q列的元素，a(p+q-1 )表示矢量导向矢量a的第p+q- 1个元素。

将式(9)代入式(8)中，有

式中cm=λmc。

显然，式(11)中TL(θm)的变量为θm,cm的变量为λm,c1, …,cL-1，它们的变量相互间并无耦合。利用来得到θm,λm,c1, …,cL-1的估计，是一典型的可分离非线性最小二乘问题[24]。

式(11)中，当给定某个θ时，由线性最小二乘可得，cm的最小二乘意义下的估计可以表示成的伪逆，通常取。

式中IN为N×N维的单位矩阵。

通常，波达角θm的估计可以通过寻找的最小值来得到。将代入的表达式中，Fk(θm)可以继续简化为

其中Q2通过TL(θm)的QR分解得到

综上，对广义阵列流形矩阵G的估计的第k(1 ≤k≤p)列，通过在[-π/ 2,π/2]内求如下的优化问题，可得到某个源信号对应的波达角的估计为

式(15)可以通过经典的非线性最小二乘算法来解决，也可以利用搜索步长将[-π/ 2,π/2]等分，寻找在[-π/ 2,π/2]的最小值对应的角度来得到波达角的估计。为对比方便，与MUSIC[1]算法和文献[6]中算法一样，我们也可以构造如下的空间谱估计器

然而，与 MUSIC和文献[6]中算法不同的是，本文所提算法对每个源信号构造一个空间谱函数，通过搜索该谱函数的最大值来获得波达角的估计，而不是如 MUSIC算法那样，构造一个谱函数，通过搜索多个极大值或谱峰来得到波达角的估计。

上述算法过程中，利用盲源分离得到广义阵列流形矩阵的估计，通常要求观测数大于信源数，即N＞p。而在式(11)所代表的可分离非线性最小二乘问题中，通常要求观测矢量维数大于等于总的变量维数，即N≥1+L。因此，在本文的信号模型假设中，我们仅要求N＞p和N＞L。

显然，以上假设比大多数现有文献的假设都要宽松。如文献[6]中，首先就要求L≤ [N/ 2]-p。换句话说，在一定的信号模型假设(源信号之间相互统计独立，非高斯信号)下，本文算法适用范围更广。其根本原因在于本文所提算法利用了源信号统计特性，或者说，利用了更多的先验信息。

实际应用中，互耦矩阵的自由度L可能并不能准确获得。本文所提算法对L并不敏感：L已知时，直接利用已知的L；而当L未知时，式(9)-式(16)中，直接用大于L的整数代替L即可。最简单地，直接利用N-1作为L的估计值。

3.3 算法流程

本文算法流程总结如下(参数定义：N为均匀线阵阵元个数，p为源信号数，L为互耦矩阵的自由度）：

(1)利用盲源分离(独立成分分析)算法，如JADE[22]或复数FastICA[23]，得到广义阵列流形矩阵G=CA的估计，记为。

(2)对的每一列，利用可分离非线性最小二乘方法，构造式(13)所表示的函数F(θ)。

(3)将区间[-π/ 2,π/2]等分，搜索F(θ)的最小值对应的角度，即为某个源信号的波达角。

由上述算法流程可以看到，本文算法中，波达角估计并不是通过多维空间搜索得到的，而是通过p个闭区间内的1维最大值搜索问题得到波达角的估计。

4 仿真实验

为验证本文所提出算法的有效性，将本文算法与王布宏等人[6]提出的算法及 MUSIC[1]算法进行比较。仿真中，为简单计，称文献[6]中算法为MUSICLMC。

仿真实验中，源信号取为si(t)=ej(0.2πt+ϕi)，其中ϕi为[0,2π]内的均匀分布，ϕi间相互统计独立。互耦矩阵系数取为ci= ( 0.8j)i,i=1,…,L-1,L为互耦矩阵自由度。噪声为复高斯白噪声。输入信噪比(SNR)定义为其中分别表示信号和噪声的方差。仿真中，本文算法采用JADE[22]算法实现广义阵列流形矩阵G的估计。

仿真结果为1000次蒙特卡洛仿真的平均数据，采用均方根误差(RMSE)作为波达角估计性能衡量指标。

实验1波达角估计RMSE随SNR变化关系。均匀线阵由5个阵元组成，相邻阵元间距为半个波长，互耦自由度为L=2，采样数为 1024，两个源信号波达角分别为-10◦和10◦。图1为SNR从-10 dB变化到25 dB时，本文算法，MUSIC-LMC和MUSIC算法波达角估计RMSE随SNR变化曲线。仿真中，搜索步长均为0.1◦。由图 1可以看到，本文算法估计性能始终优于 MUSIC-LMC算法和MUSIC算法。SNR＞20 dB时，MUSIC-LMC算法估计性能与本文算法非常接近。

实验2波达角估计RMSE随信源相隔角度的变化关系。均匀线阵仍由5个阵元组成，相邻阵元间距为半个波长，互耦自由度为L=2，采样数为1024, SNR=10 dB，信源1的波达角固定为θ1=0◦，信源 2波达角由1◦变化到15◦。图 2为波达角估计RMSE随信源相隔角度的变化曲线。从图2结果可以看到，本文算法性能优于MUSIC-LMC和MUSIC算法。另外，信源 1和信源 2相隔角度大于等于θ1=2◦时，本文算法波达角估计RMSE基本保持不变。

实验 3互耦自由度估计不准时不同算法波达角估计RMSE。前面我们提到过，本文算法即使在互耦自由度估计不准时仍旧有效。考虑由6个阵元组成的均匀线阵，两个独立源信号波达角分别为-1 0◦和10◦，采样数为1024, SNR固定为10 dB。真实的互耦自由度为 2。仿真中假设互耦自由度是未知的，由互耦自由度的取值，互耦自由度估计值可能的取值为2, 3, 4, 5。图3为波达角估计RMSE随互耦自由度估计值的变化曲线。由图可以看到，无论互耦自由度估计值如何，本文算法性能始终优于MUSIC算法和MUSIC-LMC算法。互耦自由度估计值变化时，本文算法和 MUSIC算法基本保持不变。与之形成鲜明对比的是，MUSIC-LMC算法只有在互耦自由度估计值等于其真值时，波达角估计RMSE比较小。由图3可以看到，当互耦自由度估计值为3, 4, 5时，MUSIC-LMC算法估计RMSE非常大。事实上，由MUSIC-LMC算法所需满足条件，互耦自由度估计值为3, 4, 5时，估计出现模糊，基本很难获得精确的波达角估计。

5 结束语

图1 波达角估计RMSE随SNR变化曲线

图2 波达角估计RMSE随信源相隔角度变化关系

图3 波达角估计RMSE随互耦自由度估计值的变化曲线(互耦自由度真值为2)

本文提出了一种新的互耦条件下均匀线阵DOA盲估计算法。算法首先通过盲源分离方法得到广义阵列流形矩阵估计，然后利用可分离非线性最小二乘方法，由多个1维峰值搜索得到DOA的估计。该算法无需任何校正源，也无需进行多维搜索，无需考虑收敛性问题。仿真实验表明，即使在DOA相差非常小的情况下，算法性能仍非常高。另外，新算法在互耦自由度未知的条件下仍旧适用，稳健度高。

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