基于小波变换估计噪声方差的轮速信号卡尔曼滤波器＊

2012-04-18陈威陈慧

汽车技术 2012年7期

陈威陈慧

（同济大学新能源汽车工程中心）

1 前言

由于轮速的干扰信号随机性较强且受路面不平度影响较大，传统的巴特沃斯、贝塞尔等数字滤波技术往往无法消除干扰的影响[1]。有学者利用小波包分析技术将干扰信号与正常信号剥离，以此为汽车轮速信号去噪[2，3]。但是小波包分析运算量较大，并不适合计算机实时运算。卡尔曼滤波是基于线性最小方差估计的滤波器，算法具有递推性，适合计算机实时运算，因而被广泛应用于信号去噪和滤波。但在状态噪声和观测噪声统计特征描述不准确的情况下，卡尔曼滤波器性能将严重恶化，甚至出现滤波失效发散等现象[4]。

因此，本文利用小波变换事先提取出不同轮速下的观测噪声标准差变化规律，再进行卡尔曼滤波，并根据轮速变化实时地自适应调整观测噪声方差值，从而避免了卡尔曼滤波失效问题。

2 轮速信号卡尔曼滤波器

2.1 卡尔曼滤波基本方程

不考虑控制作用，设随机线性离散系统的方程为：

式中，Xk是系统的状态序列；Zk是系统的观测序列；Wk-1是系统过程噪声；Vk是系统观测噪声；Φk,k-1是系统状态转移矩阵；Γk,k－1是噪声输入矩阵；Hk是观测矩阵。

随机线性离散系统基本卡尔曼滤波方程[5]：

2.2 轮速估计的系统状态空间模型

设 t时刻的轮速值为 ω（t），在 t时刻将 ω（t）按泰勒公式展开[6]，取2阶导数项：

对式（4）求1阶导数和2阶导数：

式中，Δt是 t时刻领域内任一时刻；w1（t）、w2（t）和 w3（t）是泰勒展开余项。

若采样时间为 T，则将式（4）、式（5）和式（6）进行离散化，可以得到卡尔曼滤波的系统状态空间模型：

根据文献[7]，假设系统过程噪声Wk和观测噪声Vk皆为零均值白噪声，且系统过程噪声方差为（经试验分析=4.4），故其矩阵为：

但是，系统观测噪声方差Rk在未知噪声统计特征的情况下难以确定，因此在卡尔曼滤波前必须事先分析确定观测噪声的统计特征。

2.3 不准确的观测噪声统计特征对滤波性能影响

一般而言，不准确的观测噪声方差会污染卡尔曼滤波器，导致其给出的结果严重偏离真值，不能反映状态估计精度。

利用MATLAB/Simulink仿真软件，更能直观地表明观测噪声方差不准确对滤波性能的影响，如图1所示。仿真模型中真实信号为幅值10 r/min、偏置100 r/min的正弦轮速信号。在真实信号上叠加方差为 0.1的噪声信号，利用式（7）～式（11）所构建的卡尔曼滤波器进行滤波去噪。在卡尔曼滤波迭代算法中所采用的观测噪声方差为真实方差的0.1～10倍。图1中横坐标表示计算用噪声方差和真实噪声方差的倍数关系，纵坐标为卡尔曼滤波器输出估计值方差。从图1可以看出，在真实噪声方差附近，即图1中横坐标为1处，实际估计值方差最小。当计算用噪声方差和真实噪声方差相差变大时，实际估计值方差也将变大。因此，在先验信息不完全的情况下，采用与真实噪声方差相差较多的观测噪声方差进行卡尔曼滤波无法体现状态滤波的精度。

2.4 小波变换提取轮速信号噪声统计特征

本文研究平台是某分布式驱动电动汽车，图2为其实际测得的某个车轮轮速信号，该信号来自于轮毂电机中的旋转变压器。从图2中可以看出，轮速增大时噪声信号的干扰强度随之增大。

若观测噪声的统计特征发生变化，仅依靠固定的观测噪声方差对观测噪声进行描述不可取，需要自适应调整观测噪声方差来进行实时估计。

根据Stone－Weierstrass理论可知，任一有界闭区间的连续函数都可以由该区间内的多项式以任意精度一致逼近[8]。

轮速信号u（t）可以表示为：

式中，γi为多项式系数（i=1，2，…，L）。

则观测含噪声的序列可表示为：

式中，δ（t）为噪声信号。

设 φa（t）是一个小波函数，且有：

式中，a是尺度因子。

对z（t）的小波变换可表示为：

式中，*为卷积运算。

若 φ（t）有M 个消失矩，且有一个正整数 k，满足 k＜M，则：

因此，当选择有K（K＞L）消失矩的小波函数φ（t）时，z（t）的小波变换就抑制了信号而保留了噪声分量，则：

在t时刻的标准差估计值为：

式中，a 取 0.5；Med（）为中值函数。

因此，在轮速传感器观测噪声未知的情况下，可利用小波变换分析该轮速信号噪声。选择2 s作为观测序列窗口的时间长度，每往观测方向上移动0.2 s就观测窗口一次，直至遍历所有序列为止，具体如图3所示。

观测小波选择使用消失矩为7的经典DB小波，利用式（18）观测滑动窗口中序列并估计出噪声的标准差（标准差的平方即为方差）。利用2次曲线

拟合所有滑窗中观测序列结果如图4所示。

从图4可以看出，轮速噪声的标准差随着轮速增加近似成2次曲线增长。因此，在轮速信号卡尔曼滤波器中，Rk的取值随着轮速变化进行自适应调整，整体估计算法流程如图5所示。

3 试验结果

利用装有4个轮毂电机的某分布式驱动电动汽车研究平台进行实车试验数据采集，如图6所示。利用dSPACE公司的MicroAutobox采集车轮轮速数据，采样频率为100 Hz。

为保证尽可能排除转向和路面倾斜对轮速测量的影响，试验选择在一条平坦、干燥、长约300 m的沥青路面上进行。记录旋转变压器输出的轮速信号，随后在计算机上利用事先编译好的自适应卡尔曼滤波器进行离线滤波处理，此时4个车轮的轮速信号已经经过小波变换事先提取出其噪声的统计特征。

图7和图8分别给出了试验车辆在加速和减速2种工况下某个车轮轮速的测量原始信号和自适应卡尔曼滤波后的信号。

从图7和图8中可以看出，自适应卡尔曼滤波器能够适应加速和减速2种基本工况，而且滤波效果平滑，轮速信号延时小，响应较快，即经过滤波后的轮速信号可以用来估计纵向车速等车辆状态量。

为了表现自适应卡尔曼滤波器的优势，在试验数据处理时加入了非自适应卡尔曼滤波器的处理结果进行对比，如图9所示，非自适应卡尔曼滤波器采用一个固定的观测噪声方差Rk。从图9可以看出，与非自适应卡尔曼滤波后轮速信号相比，自适应卡尔曼滤波后轮速信号曲线平滑，受噪声影响较小。当轮速增大至一定数值后，实际观测噪声方差将大于这个固定值，因此非自适应卡尔曼滤波器中的计算用观测噪声方差Rk将变得不准确，显著降低了其滤波去噪功能。而自适应卡尔曼滤波器可以自动调整观测噪声方差值，保证了卡尔曼滤波器的滤波效果。

4个车轮的轮速信号噪声统计特征由于受机械磨损或电磁干扰等影响，可能会存在一定差异。因此针对不同的车轮轮速信号可以使用不同的自适应系统观测噪声方差Rk来调整其卡尔曼滤波器，使估计算法准确地跟随观测信号噪声变化。