拓扑空间中Moore-Smith收敛的理想刻画

吴 乐

（西安西港花园高级中学，陕西西安 710026）

在现实生活中存在着各种逼近状态无法用序列收敛来描述.在一般拓扑空间中，Moore-Smith收敛就是用来描述这种逼近状态的理论.常见的Moore-Smith收敛是通过拓扑空间中的网[3]来刻画的.本文将利用拓扑空间中的理想来完成这种刻画.下文中假设(X，T)是一个拓扑空间，P(x)表示X的幂集，即P(X)=｛A|A⊆X｝.

定义1 设I⊆P(X)，如果I满足条件：

（1）Ø∈I，X∉I；

（2）若A∈I，B∈I，则A∪B∈I；

（3）若A∈I，A⊇B∈P(X)，则B∈I，那么称I是X上的一个理想.

定义2 设x∈X，A∈P(X)，若存在G∈T使得x∈G⊆A，则称A为x的邻域，称x的全体邻域之集为x的邻域系，记作N(x).称集合Nop(x)=｛B∈P(X)|X-B∈N(x)｝为x的余邻域系.

定理1 对于任意的x∈X，x的余邻域系Nop(x)是X上的理想.

证明：对于任意的x∈X，由定义1和定义2可得：

（1）由于x∈N(x)，Ø∉N(x)，则Ø∈Nop(x)，X∉Nop(x)；

（2）若A，B∈Nop(x)，则X-A，X-B∈N(x)，于是X-(A∪B)=(X-A)∩(X-B)∈N(x)，从而A∪B∈Nop(x)；

（3）若A∈Nop(x)且A⊇B∈P(X)，则X-A⊆X-B，于是X-B∈N(x)，从而B∈Nop(x).

定义3 设I是拓扑空间(X，T)上的理想，x∈X，

（1）如果Nop(x)∈I，则称理想I收敛于点x，或称点x为理想I的极限点，记I的所有极限点之集为limI.

（2）如果对于任意的A∈I和B∈Nop(x)，A∪B≠X，则称理想I聚于点x，或称点x为理想I的聚点，记I的所有聚点之集为adhI.

定理2 设I是拓扑空间(X，T)上的理想，则limI⊆adhI.

证明：任取x∈limI，由于x是理想I的极限点，则Nop(x)⊆I，于是对于任意的A∈I和B∈Nop(x)，A∪B∈I，而X∉I，所以A∪B≠X，从而x∈adhI.

定理3 设I1，I2是拓扑空间(X，T)上的理想，且I1⊆I2，则limI1⊆limI2，adhI1⊇adhI2.

证明：任取x∈limI1，由于x是理想I1的极限点，则Nop(x)⊆I1，而I1⊆I2，于是Nop(x)⊆I2，所以x∈limI2.

任取x∈adhI2，由于x是理想I2的聚点，则对于任意的A∈I2和B∈Nop(x)，A∪B≠X，而I1⊆I2，于是，对于任意的A∈I1和B∈Nop(x)，A∪B≠X，所以x∈adhI1.利用这种收敛方式，可以给出集合闭包的刻画.

定理4 设A⊆X，那么x∈A-，当且仅当存在X上的理想I，使得A∉I且x∈limI.

证明："⇒"若x∈A-，则对于任意的G∈N(x)，G∩A≠Ø，于是(X-G)∪(X-A)≠X，从而对于任意的H∈Nop(x)，H∪(X-A)≠X.令I=｛U∈P(X)|存在H∈Nop(x)｝，使得U⊆H∪(X-A).下证I是X上的理想，

（1）显然Ø∈I，由于对于任意的H∈Nop(x)，H∪(X-A)≠X，所以X∉I；

（2）若U，V∈I，则存在存在H，K∈Nop(x)，使得U⊆H∪(X-A)，V⊆K∪(X-A)，于是U∪V⊆H∪K∪(X-A)，由于Nop(x)是理想，则H∪K∈Nop(x)，从而H∪K∈I.

（3）若 U∈I且 U⊇V∈P(X)，则存在 H∈Nop(x)，使得V⊆U⊆H∪(X-A)，于是V∈I.

从而，I是 x上的理想.由 I的定义可知，Nop(x)⊆I，于是 x∈limI.假设 A∈I，则存在H∈Nop(x)使得A⊆H∪(X-A)，而A∩(X-A)=Ø，则存在G∈N(x)使得 G⊆X-A，于是 A∩G=Ø，与 x∈A-矛盾，所以A∉I，

"⇐"设I是X上的理想，A∉I且x∈limI，则Nop(x)⊆I.假设 x∈A-，则存在 U∈N(x)使得 U∩A=Ø，于是 A⊆X-U∈Nop(x)⊆I，从而 A∈I，与A∉I矛盾，故x∈A-.

下面讨论X中的理想与网之间的联系.设D是非空集合，≤是D上的一个二元关系，如果满足条件：

（1）对于任意的m，n∈D，若m≤n，则n≤m；

（2）对于任意的m，n，p∈D，若m≤n且n≤p，则m≤p；

（3）对于任意的m，n∈D，存在p∈D，使得m≤p且n≤p，那么称(D，≤)是一个定向集.称映射S∶D→X为拓扑空间(X，T)中的网，记作｛Sn｝n∈D.设x∈X，若对于任意的G∈N(x)，都存在m∈D，使得对于任意的n∈D，当m≤n时，Sn∈G，称网｛Sn｝n∈D收敛于点x，或x是｛Sn｝n∈D的极限点，记｛Sn｝n∈D的全体极限点之集为limS.若对于任意的G∈N(x)和m∈D，总存在n∈D，使得m≤n且Sn∈G，称网｛Sn｝n∈D聚于点x，或x是｛Sn｝n∈D的聚点，记｛Sn｝n∈D的全体聚点之集为adhS.

对于拓扑空间(X，T)中的网｛Sn｝n∈D，令

I(S)=｛U∈P(X)|存在 m∈D，使得对于任意的n≤m，Sn∉U｝，容易验证I(S)是X上的一个理想.

对于 X上的理想 I，令 D(I)=｛(x，A)∈X×I x∉A｝，对于任意的(x，A)(y，B)∈D(I)，定义

(x，A)≤(y，B)当且仅当A⊆B，

由理想的定义知，D(I)是定向集.定义映射S(I)∶D(I)→X为，对于任意的(x，A)∈D(I)，S(I)((x，A))=x，这样得到拓扑空间(X，T)中的网S(I).

定理5 设I是拓扑空间(X，T)上的理想，｛Sn｝n∈D是(X，T)中的网，则

（1）limI=limS(I)，adhI=adhS(I).

（2）limS=limI(S)，adhS=adhI(S).

证明：（1）一方面，对于任意的 x∈limI，则Nop(x)⊆I，于是对于任意的G∈N(x)，x∉X-G∈I，从而(x，X-G)∈D(I).对于任意的(x，X-G)≤(y，A)，则S(I)((y，A))=y∉A⊇X-G，于是S(I)((y，A))∈G，从而x∈limS(I).另一方面，对于任意的x∈limS(I)，则对于任意的G∈Nop(x)，存在(x，A)∈D(I)，使得对于任意的(x，A)≤(y，B)，S(I)((y，B))=y∉G，于是G⊆B⊆I，从而Nop(x)⊆I，即x∈limI.

类似地可以证明adhI=adhS(I).

（2）x∈limS，当且仅当对于任意的G∈N(x)，都存在m∈D，使得对于任意的n∈D，当m≤n时，Sn∈G，当且仅当Nop(x)⊆I(S)，当且仅当x∈limI(S).

x∈adhS，当且仅当对于任意的G∈N(x)和m∈D，总存在n∈D，使得m≤n且Sn∈G，当且仅当任意的U∈I(S)和G∈N(x)，A∪(X-G)≠X，当且仅当x∈adhI(S).

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]伍胜健.数学分析[M].北京：北京大学出版社，2010.

[3]Kelley J L.一般拓扑学[M].汪浩，译.长沙：国防科学技术大学出版社，1981.