代数双曲空间中拟Legendre基的应用

王 燕， 檀结庆,， 李志明

（1. 合肥工业大学计算机与信息学院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工业大学数学学院，安徽 合肥 230009）

代数双曲空间中拟Legendre基的应用

王 燕1， 檀结庆1,2， 李志明2

（1. 合肥工业大学计算机与信息学院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工业大学数学学院，安徽 合肥 230009）

鉴于 Legendre基等正交基在代数多项式空间中的广泛应用，论文在深入研究代数双曲空间的拟 Legendre基性质的基础上，给出了其在反函数逼近和等距曲线逼近上的应用。利用多项式和双曲函数的混合多项式序列来逼近反函数，并通过实例证明给出方法的有效性；对基曲线的法矢曲线进行逼近，构造 H-Bézier曲线的等距曲线的最佳逼近，这种方法直接求得逼近曲线的控制顶点，计算简单，截断误差小。

H-Bézier基；拟Legendre基；反函数；等距曲线

为克服Bézier曲线不能精确表示悬链线、指数曲线、双曲线等超越曲线的不足，混合空间曲线曲面的构造成为研究的热点，代数双曲混合空间Γ= span{1,t,t2,…, tn−2,sinht, cosht},n ≥2，曲线

n曲面的研究就是其中之一。一些学者在 Γn中构造了一组基函数，称为H-Bézier基函数，并研究了相应的曲线曲面的一些性质[1-6]。但是，和Bernstein基函数一样，H-Bézier基也不是正交基。文献[7]利用H-Bézier基函数的对称性、端点性质等构造了空间 Γn中的一组正交基，这组基除了具有与Legendre多项式相似的简洁微分表达形式，而且还具有与Legendre基相似的特殊性质。众所周知，Legendre基是多项式空间里的一组正交基，在最小平方逼近问题中起着重要作用，被广泛应用在降阶逼近、反函数逼近、等距曲线逼近等问题中[8-10]。因此有必要探讨一下这组基在代数双曲空间中的应用。

给定一个单调函数 λ= f(t)，t ∈ [a,b]，求反函数 f−1(λ)是CAGD中的一个基本问题，也是一个比较难的问题，一般无法得到精确的表达式。在CAGD中一般是构造一个逼近序列逼近反函数。文献[9]利用 Legendre多项式来求解多项式函数的反函数，文献[11]利用对称幂基讨论了任意函数的反函数的多项式逼近，文献[12]给出了用多项式和三角函数的混合来逼近反函数的方法，文献[13]利用约束Jacobi多项式处理多项式反函数逼近。

等距(Offset)曲线也称为平行或位差曲线面，是基曲线上每一点沿着该点处的法矢方向偏移一个等距距离所得点的轨迹。其应用领域遍及数据加工中刀具轨迹计算，机器人行走路径规划，实体造型和图形学等。文献[14]利用最佳平方逼近的Legendre多项式逼近基曲线的法矢曲线，通过计算控制顶点的偏移向量得到等距曲线的逼近曲线；文献[15]给出了平面Bézier曲线几何方式和代数方式的等距曲线逼近方法。

因此，研究反函数逼近和等距曲线逼近具有重要的意义，本文以代数双曲空间中的拟Legendre基为基础，研究其在反函数逼近和等距曲线逼近中的应用。

1 代数双曲空间中的拟Legendre基

称为n次H-Bézier曲线，其中α是全局形状参数，且 α＞ 0,是定义在代数双曲混合多项式空间 Γn= span{ 1,t,t2,… ,tn−2,sinht, cosht}, n≥ 2中的一组基函数，具体形式为

文献[7]给出了空间 Γn中的一组正交基（见图1），定义如下

其中，

图1 正交基 L0 (t), L1 (t), L2 (t), L3(t)

2 拟Legendre基的应用

2.1 反函数的逼近

文献[12]在代数三角混合多项式空间Ω= span{1,t,t2,… ,tn−2,sint, cost} 中研究了反函

n数的逼近问题。经仔细的推理计算，文献[12]中的结果可直接推广到代数双曲空间Γ= span{1,t,t2,… ,tn−2,sinht, cosht }中。

n

定理1 函数 λ= f(t)在[0,α]上单调且满足 f (0) = 0,f(α)=α，则反函数 t = f−1(λ)的一个逼近序列为其中

证明 取

则为了使得 Im最小， Qj的取值应该使 Im达到最小，由得

由标准正交基的性质即得

证毕。

由证明可以得出该函数逼近序列的逼近误差为

例 1 以函数

为例，令 α= 1，则由定理1可以求得 Qj( j= 0,1,2,3)为0.4933,0.2870,0.0032,0.0019，逼近误差为 1.0810× 10−7。图2给出了 f−1(λ)−qn(λ) ,n = 1,2,3的图形。（其中，实线对应 n= 1,虚线对应 n= 2,点划线对应 n= 3）

图2 f −1(λ) − qn(λ),n =1,2,3

2.2 等距曲线逼近

本文将利用空间 Γn中的拟 Legendre多项式给出H-Bézier曲线的等距曲线逼近。

本文采用基于法矢曲线逼近的等距曲线逼近方法，其基本思想为先对法矢曲线 Nd(t)进行逼近，然后再对等距曲线Pd(t)进行逼近这样就将等距曲线的逼近转化为法矢曲线的逼近。

利用文献[7]中构造的拟Legendre基，在 L2范数空间中，构造最小二乘算法，对 H-Bézier曲线的法矢曲线进行最佳逼近。

设 H-Bézier曲线的法矢曲线 Nd(t)的逼近曲线 N∗( t)的拟Legendre基表示为

则等距曲线逼近的误差曲线为

在 L2范数意义下，误差可定义为

为使得逼近误差最小化，可以对 ε2求关于 N∗j(t )的偏导，并赋值为0，可得

由拟Legendre基的正交性，可以求出 N∗j的表达式

利用H-Bézier基和拟Legendre基的转换公式，就可以得到 N∗(t)的H-Bézier基表示形式

为了统一法矢曲线与基曲线的表示形式，可以利用升阶公式把逼近曲线表示成max(m,n)次的H-Bézier曲线。

如果所求出的误差大于事先给定误差阀值，需要增加 N∗(t)的次数 m，提高误差精度。此时无须重新计算 N∗(t)的所有控制顶点，仅需计算新的控制顶点 N∗(t), j=m +1,… ,max(m,n)，直j到误差精度达到给定的范围，所得到的曲线N∗(t)是基曲线法矢曲线 N(t)的最佳逼近曲线。d

下面给出基于法矢曲线逼近的H-Bézier曲线的等距曲线逼近算法。

Step 1 输入n次H-Bézier曲线 P(t)，等距距离d，逼近误差界 ε0；

Step 2 利用公式（2）计算出法矢曲线的逼近曲线 N∗(t)的控制顶点；

Step 3 利用公式(1)计算等距曲线误差ε；

Step 4 如果 ε≤ ε0转到 Step6 ,否则转到Step5；

Step 5 增加 N∗(t)的次数m，利用公式（2）计算新的控制顶点，并求得 N∗(t)；

Step 6 利用H-Bézier基和拟Legendre基的转换公式，得到 N∗(t)的H-Bézier基表示形式，从而得到H-Bézier曲线的等距逼近曲线。

利用该算法给出下面的例子。

例 2 以三次H-Bézier曲线为基曲线，其控制顶点分别为(0,0),(1,4),(5,6),(8,3)，利用本文方法求其等距距离为d =1的等距逼近曲线如图3所示。其中，实线为三次H-Bézier曲线，虚线为原等距曲线，点划线为利用本文方法得到的等距曲线的逼近曲线。

图3 三次H-Bézier曲线的等距曲线

3 结 论

本文给出了代数双曲空间中的一组正交基在反函数逼近和等距曲线逼近两个方面的应用。利用代数双曲空间中的混合多项式给出了单调函数求反函数的逼近序列，并用实例证明了方法的有效性；利用基于法矢曲线的逼近构造H-Bézier曲线等距曲线的方法，逼近曲线与原曲线具有相同的低阶表示形式，逼近误差易于控制。我们将进一步探讨拟Legendre基在代数双曲空间中的其他应用。

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The application of a quasi-Legendre basis in the hyperbolic hybrid polynomial space

Wang Yan1, Tan Jieqing1,2, Li Zhiming2
( 1. School of Computer and Information, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China; 2. School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China )

In view of the wide usage of the orthogonal basis such as Legendre basis in the algebra polynomial space, the applications of the quasi-Legendre basis in inversion and offsetting approximations are given in this paper. Inversion approximation is constructed by using the blending of polynomial and hyperbolic functions, and the experimental results show that the approximation method is effective. An approach to approximate the offset curves of the H-Bézier curve based on the ideal approximation for the normal curve is presented. The algebraic approximation algorithms which can obtain the control points of the approximation curves directly are simple and more precise.

H-Bézier basis; quasi-Legendre basis; inverse function; offset curve

TP 391.72

2095-302X (2012)02-0053-04

2011-09-30

国家自然科学基金资助项目（60773043，61070227）；教育部科学技术研究重大资助项目（309017）

王 燕（1985-），女，山东泰安人，博士研究生，主要研究方向为计算机辅助几何设计。