时标上的二阶变时滞中立型动力方程的振动性

林文贤

（韩山师范学院数学与应用数学系，广东潮州 521041）

1 引言

为了统一微分和差分，1988年德国学者Stefan Hilger在他的博士论文[1,2]中首次提出了测度链微积分（The calculus of measure chains）.他的博士导师Bernd Aulbach教授指出，这种新的微积分有三个主要目的：统一、推广和离散化（Unification-Extension-Discretization）.而对于许多情况，只需考虑测度链（measure chains）的一种情形——时标（Time Scale）.一个时标指的是实数集ℝ的任一非空闭子集，它具有由ℝ诱导的拓扑以及ℝ中的顺序关系，通常用记号T表示.对于定义在T上的函数 y，考虑其上的所谓 Δ-导数 yΔ和n阶时标动力方程（Dynamic Equations on Time Scale）f(t,y,yΔ,yΔΔ,…,yΔn)=0.当T=ℝ为实数集时，这种导数 yΔ是通常的导数y′，这些动力方程即是微分方程；而当T=ℤ为整数集时，这种导数yΔ是通常的前差分Δy（the forward difference）这些动力方程则是差分方程.特别重要的是，除了T=ℝ和T=ℤ外，还有许多十分有趣的其它形式的时标，如T=qℤ:={qk|k∈ℤ}⋃{0}，其中 q＞1；T=hℤ:={hk|k∈ℤ}，其中 h＞0；其中a,b＞0；T={tk|k∈ℤ}，其中对所有k∈ℤ有tk∈R且tk＜tk+1.

这些时标给我们提供广泛的应用空间.需要强调的是：尽管微分方程和差分方程有许多类似的结果，但仍然存在大量本质上完全不同的性质和结论.

对时标理论（The theory of time scale）的研究，既是数学理论自身发展的需要，也是实际问题的需要.时标理论的研究不仅能把微分方程理论和差分方程理论很好地结合在一起，而且所有结果比微分方程和差分方程理论的更为广泛，它能够把这些古典情形扩充到“两者之间”，例如扩充到所谓的q-差分方程（在量子理论方面有重要的应用）.由于实际模型所对应的时标动力方程可解决把停止——开始行为和连续行为结合在一起的问题，因此计算机网络、生态、工程技术、物理等领域的许多现象用时标动力方程来描述，更能揭示其本质属性.譬如，利用这一理论建立的昆虫种群模型和电网模型更符合实际[3,4].

文献[5]中称“这种时标动力方程是更能反映现实世界的方程式”.

近十几年来，对时标上动力方程的振动性和非振动性理论的研究已经得到国内外许多学者的极大关注，发展迅速，取得了大量的成果[6-18].

本文将考虑如下的一类二阶非线性变时滞中立型时标动力方程

其中自变量t在时标T上变化.这里sup T=∞且h(t)→∞(t→∞).

在T上本文定义了前跳算子 σ(t):=inf{s∈T:s＞t}和后跳算子 ρ(t):=inf{s∈T:s＜t}.对于函数f:T→ℝ，我们说 fΔ(t)是 f在t∈T处的Δ-微分，如果

存在（此处 fΔ(t)要求t∈Tk:=T{m}，如果m存在，其中m是指T的最大孤立点），并且对任意的ε＞0，存在U=(t-δ,t+δ)⋂T 使得

对所有t∈T成立. f的Δ-微分与其步差算子 μ(t)≐σ(t)-t之间存在着重要关系 fσ=f+μfΔ，其中fσ=f∘σ.对任意的两个Δ-微分的函数 f和g，其乘积与商的Δ-微分分别为

不妨设Crd(T,S)是表示T上的所有右稠连续函数 f:T→S⊆ℝ的一个集合.称 f在t∈T上是右稠连续的，如果 f在所有右稠密点连续（所谓右稠密点是指满足σ(t)=t的点）且在所有的左稠密点（ρ(t)=t）和右发散点（σ(t)＞t）的左极限存在.文献[3]表明右稠密点连续函数一定有原函数.其Cauchy积分由 ∫abfΔ(t)Δt=f(b)-f(a)定义，其中 t∈T.如果 a∈T,sup T=∞且 f是[a,∞)上的右稠连续函数，则可定义广义积分如下如果极限存在，称广义积分是收敛的，如果极限不存在，则称广义积分是发散的.当a,b∈T,f,g∈Crd时，有[3]

方程（1）的一个解是指定义在T的区间[b,∞)上的一个实值函数x，且在[c,∞)上满足（1），其中c＞b足够大使得h(t)≥b,t≥c，称（1）的一个解x:T→ℝ是（1）的一个最终正解，若存在t0∈T使得x在[t0,∞)是正的.考虑到时标T或许是不连续的，我们说函数x:T→ℝ在h∈T有一个一般的零点，如果x(h)=0或者h左发散的（ρ(h)＜h）且x(h)x(ρ(h))＜0.我们说方程（1）的一个解是振动的，如果对任何r∈T存在一个t∈T满足t＞r使得x在t有一个一般的零点.

本文的目的是利用广义Riccati变换、完全平方技巧和参数函数而得到时标动力方程（1）的新的振动准则，推广和包含了文献[17,18]的结果，并且在时标上统一了二阶中立型微分方程和差分方程解的振动性质.

2 主要结果

为方便起见，令

并且，在本文中总假设：

（a） P,Q,F∈Crd(T,R),τ∈Crd(T,T),且

（b）当t≥t0时,Q(t)非负且不恒为零；

（c） xF(x)≥0且F(x)x≥C(x≠0),其中C为正常数;

（e） h(σ(t))≤σ(h(t)),h(t)≤σ(t).

下面的引理在本文中用到.从（2）式立即可以得到下面第一个引理.

引理1 假设 f和g都是Δ-可微的，则

引理2[17]假设条件（d）成立，则σ～(h(t))=h(σ(t))，其中指上的前跳算子.

引理3[17]假设条件（d），(e)成立，如果 yΔΔ≤0,t∈T.令代表=h(T)上的微分，则

引理4 若x(t)是方程（1）的一个非振动解，则有yΔ＞0且yΔΔ(t)≤0,t≥t1.

证明 假设x(t)是方程（1）的一个非振动解.不失一般性，不妨设x(t)为一最终正解.即x(t)＞0 ， t≥T0＞t0.由 条 件(a)， 存 在 t1≥T0使 得 y(t)≥x(t)＞0,t≥t1.于 是,存 在 t1≥t∗≥t0,使 得从方程(1)可知

因为Q(t)非负且不恒为零,故yΔ(t)最终定号.我们断言yΔ(t)＞0,t≥t1.否则，存在t2≥t1，使得yΔ(t2)=-β＜0 且 yΔ(t)≤-β ，对每一个 t≥t2成立.故有

而这与“ y(t)＞0,t≥t1”相矛盾.因此有 yΔ＞0 且 yΔΔ(t)≤0,t≥t1.证毕.

证明 假设x(t)是方程（1）的一个非振动解，不失一般性，不妨设x(t)最终为正，即存在t1≥t0，使得当t≥t1时有y(t)＞0,x(h(t))＞0（若x(t)最终为负，证明类似）.定义

从（2）式和引理1有

由引理4有 yΔ＞0 且 yΔΔ(t)≤0,t≥t1.由引理3，易知对一切 t≥t1有 y(h(t))≤x(h(σ(t)))且yΔ～(h(t))≥yΔ(h(t))≥yΔ(σ(t)).由 （3） 式有

由(7)和 (c),方程(1)可写成

根据条件(d)，（6）和（8）式，可得

对上述的不等式从t1到t(≥t1)积分得

在上式中，让t→+∞，在上式两端取上极限，则可知与条件（5）相矛盾.定理1得证.

注1 当P(t)≡0时，定理1就成为文献[17]的结论.

定理2 假设将条件(a)～(e)成立，记

（Ⅰ） H(t,t)=0,t≥t0;在D0上，H(t,s)＞0;

（Ⅱ）H(t,s)在D0上对s连续且有非正的偏导数.即(t,s)∈Crd(D0,ℝ)，(t,s)≤0;

证明 假设x(t)是方程（1）的一个非振动解，不失一般性，不妨设x(t)最终为正 (若x(t)最终为负，证明类似）.仿定理1定义w(t)，则由定理1的证明可以得到(9)式，即

将上式的t用s替换后两边同乘以H(t,s)k(s)，积分且由（Ⅲ）得

所以

对于t≥t1由条件（Ⅱ）有

因此

这与（10）矛盾.定理2得证.

注2 当P(t)≡0时，定理2就成为文献[18]的结论.

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