解析逻辑函数式的处理

茶国智

（大理学院 工程学院，云南 大理 671003）

逻辑函数的每一种形式都对应一种具体的电路结构，因此，可以说对逻辑函数式的处理就是对具体的电路结构的处理。对逻辑函数的表达式进行各种处理的目的就是为了使电路成本更低、排除可能存在的干扰、方便选择元器件等，从而很好的实现所期望或所要求的电路结构。对逻辑函数式的处理分3个方面，即逻辑函数式的化简、逻辑函数式的检查、逻辑函数式的变换，下面加以解析。

1 逻辑函数的处理解析

1.1 化 简

逻辑函数式化简的目标：所含项数少、因子数少。其目的就是：具体对应的电路结构所需的逻辑器件个数少、输入端少，从而结构简单。其现实意义就是：使所设计电路的成本降低。

逻辑函数式的化简方法一般有代数法和卡诺图法，代数法化简对基本公式的熟练程度要求较高，而卡诺图法化简比较直观简便，因此许多文献都推荐优先选用卡诺图法，但特别要强调的是卡诺图法化简得到的不一定是最简式，这是一个易使人产生误解的地方，这一点几乎没有文献明确指出，本文将在后面给出这方面的例证。综合之，对逻辑函数式的化简本文认为宜采用综合法，即先用卡诺图法再用代数法，这样才能既简便又准确。具体步骤为：

1）先卡诺图法化简

卡诺图化简理论在许多文献[1-2]中已有详细阐述，在此就不做累述，而仅对几个重要的方面做些解析。

①填卡诺图技巧 为了填卡诺图，一般需要将逻辑函数化为最小项表达式。但是，化为最小项表达式的工作往往比较繁琐且易出错。事实上有更简便的方法，不用化为最小项表达式也可完成填卡诺图的工作。任何逻辑函数式都可表示为“与—或”表达式，仔细观察其“与—或”式，其各个“与项”中的因子总是以两种方式出现：“原变量”、“反变量”。对应于卡诺图来讲，“原变量”出现就在卡诺图中找出与该因子原变量对应的行（列），“反变量”出现就在卡诺图中找出与该因子反变量对应的行（列），这样所得共同的行列重叠方格即为各个“与项”所表示的最小项，最后在这些方格里填充“1”即可。

图1 填写卡诺图Fig．1 Filling in Kanomap

②写表达式要点 应用卡诺图化简规则画完包围圈 （圈“1”或圈”0”）后，就需要写出表达式。

由于所画的包围圈必占据卡诺图中的某些行和某些列，比较行标因子在这些被占据行上的取值和列标因子在这些被占据列上的取值，凡是取互补值的因子在表达式中就不出现，即不写；反之，不取互补值的就要出现且取1值时写其原变量，而取0值时写其反变量。一个包围圈就是一个与项。各包围圈的与项之和即为卡诺图化简所得的逻辑函数式。因此，本文给出的写表达式要点就是：“比较行列标因子的取值，互补则消失”。下面举例说明。

例 按前述要点写出用卡诺图化简的有图2所示的逻辑函数式。

图2 卡诺图法化简Fig．2 Simplifying by Kanomap

由图可见，L是4个因子A、B、C、D的逻辑函数，卡诺图中将A、B作为行标因子，C、D作为列标因子。

图2（a）为圈“1”情况，按化简规则可最终画出 3个包围圈，图中所标的与项为的包围圈占据了 1、4 行和 1、2 列，由于行标因子A、B在1、4行上的取值为00、10，列标因子C、D在1、2列上的取值为00、01，按前述要点：“比较行列标因子的取值，互补则消失”可得，因A、D取互补值（即0和1）而B、C取0、0，故在写出的与项中A、D消失（不写）而B、C以反变量形式出现（即B，故写出的与项为。 按此要点，对另外两个包围圈写出的与项为。最后，三包围圈写出的3个与项之和即为逻辑函数经卡诺图化简后的结果，即：

图2（b）是按照卡诺图化简规则作出的另外一种圈“1”情况。同理按要点，可写出：

仔细比较圈“1”和圈“0”情况，所得结果并不相同，这与诸多文献指出的两者应相同的结论相矛盾，那么原因何在呢？这就是下面要阐述的。

2）后代数法化简

由前述例子证明，卡诺图化简得到的不一定是最简式。因此，对逻辑函数式的化简宜采用综合法，即先用卡诺图法再用代数法。

1.2 检 查

经化简后的逻辑函数式还需要进行一个检查环节，其目的就是要消除可能存在的竞争冒险，尽可能地排除干扰。

检查方法的核心要点就是观察逻辑函数式中互补出现的因子，并检验在一定的条件下是否存在该因子的“互补相与”或“互补相或”，即是否存在如 F=X+或F=X的表达形式，若存在则说明有产生竞争冒险可能，一定要消除之。

消除竞争冒险方法有[3-4]：修改逻辑设计（消除互补变量、增加冗余项）、加封锁脉冲信号、引入取样脉冲、输出端并联电容器等。

1.3 变 换

逻辑函数式经化简、检查后，可能还需要进行变换。这主要是考虑到元器件的选择问题，如某元器件在市场上比较常见或者价格上更实惠等原因，电路设计中将优先选择之，此时就需要将逻辑函数式进行变换，以便由该种元器件去实现相应的电路结构。

目前，许多文献[5-7]都对由基本逻辑门“与、或、与非、或非”所构成的两级电路结构形式间的变换作了研究。根据排列组合可知，由基本逻辑门“与、或、与非、或非”构成两级电路结构形式的总数应有16种，去除无实际意义的几种形式外，有效形式也还有很多种。这些文献指出一般借助取反、对偶及一些基本恒等式就能达到变换的目的，但是技巧性偏强，不易掌握。

其实仔细分析可知，一个再简单的电路往往都不止两级结构，复杂电路就更不用说了，因此当两级间、两级间的去变换时，本级的变换需要兼顾它的上一级和下一级的变换，显得很繁琐。本文介绍一个简便可行方法，称为二次取非变换法，其优点就是每级变换时对它的上一级和下一级的“兼顾性”要求降低，甚至可独立完成。

1）二次取非变换法

①确定二次取非的范围：式中哪部分不满足则就对这部分取二次非，比如整体式不满足则对整体式取二次非、局部项不满足则对局部项取二次非。

②使用反演律去除非号的原则：符号满足时不能用反演律去除非号；反之，则需用反演律去除非号。

③处理多余非号的措施：既不允许用反演律消去又不属逻辑结构式所要求的非号，可加一级非门处理之。

2）应用举例

面对器件而言，最常用的其实是与非门和或非门，这是因为此二者不但能实现“与非、或非”逻辑关系，而且由它们也很容易实现“与、或、非”逻辑关系，如并接所有输入端就改装为非门，它们后面若加接一个非门（可有它们按前述方式改装所得）就变为与门、或门。因此，设计中常要求电路用与非门或或非门实现，即常需要将逻辑函数式变换为关于“与非”或“或非”相关的结构形式。

本例经变换后所画出的逻辑图为图3（a）所示。

本例经变换后所画出的逻辑图为图3（b）所示。

图3 经二次取非变换后所得的逻辑电路图Fig．3 Logic circuit diagram after handled by a transformingmethod which main idea is taking logic not twice

以上虽只举了变换为“与非”和“或非”情况，但是这里提出的二次取非变换法使用于任意复杂的逻辑表达式，可将其任一部分（层次）变换为“与、或、与非、或非”四大形式之一。

2 结束语

逻辑函数的表达形式决定着具体电路的结构，因此对逻辑函数式的处理是数字电路设计中的重要环节。本文对逻辑函数式的处理分3个方面作了探讨，即逻辑函数式的化简、检查、变换，并对每个方面都给出了相应的见解。

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