圆的切线及扇形圆锥计算与证明

刘祥伟

在圆一节教学中，切线有关的证明与计算，通常与勾股定理，垂径定理及三角形全等或相似相结合，形成复杂、多变的题型。分析时要重点观察已知条件间的关系，选择定理进行线段或角的转化，找出所求与已知的关系，从而转化未知为已知，解决问题。因此，三角形在与圆有关的问题的证明与计算中，可谓是圆搭台，三角形唱戏。其次，结合三角形全等、三角形相似、三角函数知识进行综合分析，加强分析能力与运算能力及推理能力的培养。在进行圆知识教学与复习中，要充分考虑与中考考点相衔接的知识点的深化与探索。①掌握三角形中位线性质；②探索等腰、等边、直角三角形性质；③探索两个三角形全等及相似条件；④运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题；⑤了解弧、弦、圆心角、弦心距的关系；⑥知道圆周角与圆心角的关系及直径所对圆周角为直角；⑦了解切线概念，知道切线与过切点的半径互相垂直；⑧能判定一条直线是否是圆的切线。在接触圆的切线证明与计算题时，要分清由已知条件证切线还是已知切线及其他条件进行相关计算。动笔前，要思考两点；

①经历直观感觉、动手感知、理性思维、逻辑推理的活动过程，加强知识发展发生过程和渗透数学思想方法的教学。掌握三角形相似的判定，探寻证明三角形相似的一般规律，并能够运用三角形全等及相似条件，配合圆周角、三角函数知识解决简单问题。

②充分运用观察、归纳、推理等手段进行合理分析，理出思路。掌握三角形相似的判定，感受数学学习中的合情推理的说服力，积极参与推理活动，培养推理能力，激发对数学的兴趣是教学或复习中的重要环节。

[课程标准]重视让学生经历对圆性质的探索和证明的完整过程，让学生通过对圆的探索，对几何图形的性质进行猜想，发现并加以证明。在教学任务的表述中，[课程标准]强调了合情推理、有条理的思考体会证明的必要性、初步的演绎推理能力和初步的公理化思想。

解法教法探究。直击中考；选择、填空考察、圆的概念、有关性质及计算公式等的基础知识的基本运用，通过作图、识图、阅读图形、探索弧长、扇形及其组合图形的面积计算方法和解题规律，正确区分圆锥及侧面展开图中各元素的关系是解决圆计算问题的关键。解答题考察圆的相关性质及三角形知识尤其是三角形相似的综合能力运用。运用圆的有关性质以及计算公式和三角形的全等及相似进行简单的几何证明和几何计算是中考热点题型。

对于三角形与圆的相关计算与证明，教师引导学生做法如下；求解圆中相关线段的长度或角的大小时，往往需要过圆心作弦的垂线段，连接半径构造直角三角形，从而运用勾股定理或锐角三角函数来解；或者把所求线段或角置于两半径和以两半径外端为端点的线段围成的等腰三角形，运用等腰三角形的性质来解决问题。如果图中有直径，通常是构成直径上的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角来解题。在证明圆中相关线段或角相等时，可将其置于相关三角形中，通过证明三角形全等来解决问题。若它所在三角形不全等，可找中间量或作辅助线构造全等三角形。见到切线要想到它垂直于过切点的半径；若过切点有垂线则必过圆心；过切点有弦则想到圆心角、圆周角性质，可再联想同圆或等圆中，弦、弧、圆心距等性质的运用。在证明直线为圆心的切线时，如果已知直线过圆上一点，则连接这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直。简记为；连半径证垂直。如果已知条件中不知直线与圆是否公共点，则过圆心作该直线的垂线段为辅助线，再证明垂线段长等于半径长。简记为。作垂直，证半径。解答关于圆锥的侧面展开图计算问题时，应明确圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形半径等于圆锥母线长，弧长等于圆锥底面的周长。简记为，扇形变圆锥，弧长等圆周长。

总之，通过具体例题，渗透这些知识点，使学生在解决圆的证明与计算能力方面得到综合提高。

（作者通联：725700陕西省旬阳县双河初中）