改进的快速复值FastICA算法研究

赵立权，于轼群

(1.东北电力大学信息工程学院，吉林吉林132012;2.中国联通哈尔滨分公司，哈尔滨150001)

独立分量分析(Independent Component Analysis，ICA)是解决盲源分离问题的主要方法之一，它仅利用信源信号非高斯相互统计独立的假设条件，从接收到的混合信号中估计出信源信号。复值ICA算法是针对复值域信号的一种新的信号处理方法，目前主要应用于盲解卷积、无线通信、功能性核磁图像处理、阵列信号处理等方面［1-4］。随着ICA算法理论的逐渐发展和成熟，近些年来，复值ICA算法受到了越来越多学者的广泛关注，涌现出许多优秀的算法［3-11］。复值快速独立分量分析(Fast Independent Component Analysis，FastICA)一种典型的批处理固定点复值ICA算法［5］，后来的许多复值ICA算法都是在它的基础之上发展起来的，典型的改进算法就是基于Huber M估计函数的复值ICA算法［7］，该算法相对原算法性能更好，为了进一步提高算法的性能，本文从复值ICA代价函数所采用的非线性函数角度出发，对稳健性更好Tukey双权函数进行修正后作为代价函数的非线性函数，推导出运算速度更快的改进的复值ICA算法。

1 复值ICA数学模型

复值ICA的基本数学模型如下:

ICA的基本假设条件只是为了保证ICA算法有解，但是毕竟信源信号S和混合矩阵A都未知，因此通过ICA算法得到的信源信号的估计Y相对信源信号S存在一定的不确定性。例如式(1)可以写成如下形式:

式中:Λ=diag(a1ejθ1，a1ejθ2，…，anejθn)，an和θn为任意不为零的值;Λ－1是Λ的逆矩阵;P是任意可逆的单位置换矩阵;P－1是P的逆矩阵。矩阵Λ和P是任意的，那么得到A'=AΛ－1P－1和S'=PΛS也是任意的，但是A'S'得到的混合信号X是固定的，所以复值ICA对接收到的信号X进行分离，得到的对信源信号的估计信号可能是S'或者S，S'和S的幅度、相位和顺序不一样，因此产生了复值ICA对信源信号估计的不确定性。在ICA研究中，人们更多关注的是信号的波形，只要分离信号和信源信号的波形一样，就认为算法是有效的。

2 复值FastICA算法

复值FastICA算法是由赫尔辛基工业大学的Bingham和Hyvärine仿照实值FastICA算法，提出的一种经典的针对复数信号ICA算法［5］。该算法是一种批处理的固定点迭代算法，算法不需要设置学习速率，收敛速度快。

复值FastICA算法和其它批处理ICA方法一样，都需要对接收数据进行预处理。设n维接收信号X=［x1，x2，…，xn］T，为了简便，假设接收信号X经过预处理后得到的白化信号为Z=BX，B为白化矩阵。对于白化后的信号的盲分离，复值FastICA算法选择“自下而上”的ICA方法构造代价函数，在代价函数中采用非线性函数近似高阶统计量。其代价函数定义为:

式中:G为非线性函数;W=［w1，w2，…，wn］T为n维的复值分离向量;Z为白化后的信号满足E{ZZH}=I。在复值独立分量分析中一般假设信源信号的幅值为1，WHZ是对信源信号的估计，因此也应满足幅值为1的条件，即E{WHZ2}=E{WHZZHW}=WHW=1，W满足归一化条件。

在E{WHZ2}=WHW=I的约束条件下，复值FastICA算法代价函数为:

式中:β为拉格朗日乘子;采用牛顿迭代算法对代价函数式(4)进行优化，得到分离向量的迭代公式:

式中:g是G的导数，g'是g的导数。可选择的三种非线性函数的具体表示式如下［5］:

3 改进的复值FastICA算法

复值FastICA算法的稳健性好坏取决于所采用的非线性函数，为了提高算法性能，文献［7］提出了一种改进的复值FastICA算法，该算法采用Huber M估计函数作为代价函数中的非线性函数，相对原FastICA算法稳健性更好。其所采用的Huber M估计函数及其一、二阶导数表达式如下:

虽然文献［7］中采用的非线性函数结构简单，但是由于其二阶导数中存在求矩阵的逆，即“u－3/2”项，工程上实现矩阵逆运算比较复杂，而且增加了计算量。

为了避免矩阵求逆运算，减少计算量，提高算法运算速度，本文采用Tukey函数作为代价函数中的非线性函数［12］。在式(3)和式(5)式中，非线性函数均以估计函数的平方作为变量，为此本文对Tukey函数进行修正，将原变量看作是修正后变量的平方，即修正后的Tukey函数为

其中:g(u)和g'(u)分别为G(u)的一阶和二阶导数。从上式数学表达式可以看出，修正后的Tukey函数的导数不含有矩阵求逆运算，因此减少了计算量。

图1是Tukey函数和Huber函数及其一阶和二阶导数，其中Tukey函数阈值a=2，Huber函数阈值θ=0.9(文献［7］中取θ=0.9性能比较理想)。从图中可以看出，Tukey函数及其导数在超过阈值后为常数，因此对超过阈值的奇异值点有较好抑制性。而Huber函数超过阈值后为直线，因此对奇异值点抑制性能较差。

图1 非线性函数及其导数

4 实验仿真和结果分析

实验仿真中，采用独立分量分析算法中常用的

性能指标(Performance Index，PI)作为评价函数，用来度量算法误差大小的标准，其具体表达式如下:

式中:C=WHBA，W是白化后信号的分离矩阵，B是白化信号，A是混合矩阵。性能指标J的取值越小，表示分离误差越小。

实验1验证算法的有效性。

信源信号为一个exp(j100πt)、一个BPSK信号和一个QAM信号，采样点为1 000点，随机产生复值混合矩阵A为:

图2 信源信号

图3 复值混合信号

图2是信源信号的波形图，图3是混合信号，图4是从复值混合信号中分离出的信号，即信源信号的估计信号。图4第一个图和图2的第二个图对应、图4的第二个图和图2的第三个图对应、图4的第三个图和图2的第一图对应。对比图4和图2可以看出，分离信号和信源信号波形基本一样，证明了算法的是有效的，同时二者之间存在顺序、相位的不确定性，该不确定性是复值ICA固有不确定性，通过进一步处理后并不影响实际应用。

图4 信源信号的估计信号

实验2验证算法的性能。

为了从统计角度验证算法的性能，在实验1信源信号的基础上，进行1 000次运算取平均值，每次运算的复值混合矩阵都随机产生，其中基于Huber函数的FastICA算法门限值取θ=0.9，原FastICA算法采用G1(y)=(a+y)0.5，因为文献［7］仿真证明此时这个两种算法性能比较好。本文提出的基于Tukey函数的FastICA算法门限取。

图5 采样与性能指标直方图

图6 采样点与运行时间关系曲线

图5是采样点与性能指标关系直方图。从图中可以看出，在较低采样点时本文提出基于Tukey函数的复值ICA算法误差新能要好于其它算法，但是随着采样点数量的增加，本文算法误差性能与基于Huber函数的复值ICA算法基本一样，但是始终都比原FastICA算法性能要好。

图6是得到图5性能时算法收敛所需的平均运行时间与采样点关系曲线，从曲线可以看出三种算法中，本文算法的运行时间最短，证明了本文算法的计算量小。综合图5和图6可得，本文算法误差性能与基于Huber函数的复值ICA算法性能相当，但是比其运行时间短，也就是计算量小。而且在低采样时，本文算法误差最小。

4 结束语

本文在复值FastICA算法的基础上，提出了一种改进的复值FastICA算法。本文算法误差性能好于原复值FastICA算法，与基于Huber函数的复值ICA算法相比，本文算法在采样点较少时误差性能更好，大采样点时基本一样，但是本文算的运算时间明显小于原FastICA算法及基于Huber函数的复值ICA算法，即本文算法的计算量更小。

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