一种离差组合最大化多属性决策方法

何 霞，刘卫锋

（郑州航空工业 管理学院数理系，郑州 450015）

0 引言

多属性决策是指在一定数量的备选方案上进行决策。由于在多属性决策问题中属性权重对于求出属性综合值进而进行排序起到至关重要的作用，因此，如何求得属性权重是进行多属性决策的一个重点，也是目前多属性研究中的一个热点。目前，关于求得属性权重的方法已经取得了丰富的研究成果，其中包括属性离差最大化[1]、方案离差平方最大化[2]、特征向量法[3]、最小加权法[4]、信息熵方法[5]、投影法[6]，等等。

在上述研究基础上，本文通过计算实例说明了，文献[1]中方案属性值离差变大并不一定得到文献[2]中方案综合值离差变大的结论，反之亦然。在此基础上，提出了同时考虑方案属性值离差和方案综合值离差最大化，通过建立求解一个规划模型而得到属性权重，得到一种同时考虑方案属性值离差和方案综合值离差最大化的多属性决策方法。

1 预备知识

多属性决策问题一般可以描述为：

设 方 案 集 为 X={x1,x2,…,xn}，属 性 集 为U={u1,u2,…,um}，属性权重为 ω=(ω1,ω2,…,ωm)， 0≤ωi≤1.方案xi按属性uj进行测量，得到xi关于uj的属性值aij，从而得到原始决策矩阵A=(aij)nm。常见属性类型主要有效益型、成本型等。效益型是指属性值越大越好的属性；成本型是指属性值越小越好的属性.设Ik,k=1,2分别表示效益型、成本型下标集合,且 令 N={1,2,…,n},M={1,2,…,m},显 然M=I1∪I2.为了消除不同物理量纲对决策结果的影响，决策时可按下列公式对原始决策矩阵A进行规范化处理，从而得到规范化决策矩阵R=(rij)nm：

2 决策方法

2.1 方案属性值和综合值离差关系分析

文献[1]从排序的角度分析了，方案属性值离差越大的属性应该赋予越大的权重，并由此建立规划模型从而求出属性权重。文献[2]指出，属性权重的选择应该使得各方案的综合值尽可能的分散，越是分散越有利于方案的排序，也由此建立规划模型求出属性权重。综合文献[1，2]的分析，可以得出这样的结论，即最理想的属性权重应该是方案属性值离差和方案综合值的离差同时达到最大。然而，事实上，方案属性值离差和方案综合值的离差不仅不能同时达到最大，而且会出现方案属性值离差变大导致方案综合值离差变小，方案综合值离差变大导致方案属性值离差变小的情况出现。

定理1一般情况下，多属性决策中方案属性值离差和方案综合值的离差不能同时达到最大。

证明：采用反证法.假设方案属性值偏差和方案综合值的离差能同时达到最大，即设方案集为X={x1,x2,…,xn}，属性集为U={u1,u2,…,um}，属性权重为ω=(ω1,ω2,…,ωm)，0≤ωi≤1，规范化决策矩阵为 R=(rij)nm，方案综合属性值为 zi(ω)=i∈N ，则所有方案属性值的总离差和所有方案综合值的离差平方和能同时达到最大。

现设有两个方案 x1,x2，评价方案的属性有两个u1,u2，其规范化决策矩阵如下：

则方案x1,x2间的总离差为0.212，利用文献[1]方法求出属性权重为，于是，方案x1,x2的综合属性值分别为z1(ω)=0.9752，z2(ω)=0.8583，从而方案x1,x2间的离差平方和为0.0137。

显然，由上面的计算实例说明方案属性值的总离差变大，并不意味着方案间的离差平方和变大，即方案间未必越分散.同样实例也说明了，方案间离差平方和变大，也并不意味着方案属性间总离差会变大。

因此,不能使得方案属性值偏差和方案的离差同时达到最大，故假设不成立。

所以定理1得证。

2.2 离差组合最大化决策方法

在定理1基础上，我们提出综合考虑方案属性值偏差和方案的离差平方和，使它们之和最大化，并建立如下规划模型：

只需解上述规划模型，并将求出的向量归一化，即可得到属性权重。

于是，我们得到了离差组合最大化的一种多属性决策方法，具体算法如下：离差，

步骤1对于某一个多属性决策问题，设方案xi在属性 uj下的属性值为 aij，于是得到原始决策矩阵A=(aij)nm，其相应的规范化矩阵为R=(rij)nm。

步骤2由规划模型（Model—1）求出权重向量ω。

步骤3求出各方案的综合属性值zi(ω)，i∈N。

步骤4按照zi(ω)，i∈N的值从大到小的顺序排列，得到各方案的排序。

3 算例

例1一个购房者欲从4个备选方案xi(i=1,2,3,4)中选择一个。考察的指标有4个，分别为u1：房价（$10000），u2：住房面积(m2)，u3：工作单位与房子之间距离(km)，u4：自然环境（评估值），其中u2，u4为效益型属性，u1，u3为成本型属性.属性权重完全未知。相应的决策矩阵如表1所示。

表1 决策矩阵

试对方案进行排序和择优。

利用本文方法进行求解，步骤如下：

步骤1将原始决策矩阵规范化，得到规范化矩阵为

步骤2建立规划模型如下：

步骤3各方案的综合属性值为:

z1(ω)=0.8547，z2(ω)=0.8602

z3(ω)=0.5185，z4(ω)=0.6999

步骤4按照Zi(ω),i=1,2,3,4的值从大到小的顺序排列，得到各方案的排序为：

x2≻x1≻x4≻x3

故最优目标为x2，即购房者应优先考虑购买房子x2。

4 结语

本文研究了属性权重完全未知的一种多属性决策方法，丰富和发展了多属性决策方法。首先，证明了方案属性值离差变大并不意味着方案综合值的离差会变大，反之亦然的结论。然后，在同时考虑方案属性值离差和方案综合值的离差最大化的思想上，建立了一个规划模型求得属性权重，从而得到了同时考虑方案属性值离差和方案综合值离差的一种离差组合最大化的新的多属性决策方法。最后的实例说明了方法的可行性。

[1]王应明.运用离差最大化方法进行多指标决策与排序[J].中国软科学.1998,(3).

[2]王应明.离差平方和的多指标决策方法及其应用[J].中国软科学.2000,(3).

[3]Saaty T L.A Scaling Method for Priorities in Hierarchical Structures[J]. Journal of Mathematical Psychology,1978，1(1).

[4]Chu A T W,Kalaba R E,Spingarn K.A Comparison of Two Methods for Determining the Weights of Belonging to Fuzzy Sets[J].Journal of Optimization Theory and Applications,1979,27(4).

[5]Hwang C L,Yoon K.Multiple Attribute Making and Applications[M]. New York:Springer-Verlag,1981.

[6]王应明.多指标决策与评价的新方法—投影法[J].系统工程与电子技术，1999,21(3).