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对几种不常见刚体转动惯量的研究

2012-03-11周瑞雪

物理与工程 2012年5期
关键词:六面体转动惯量刚体

周瑞雪

(贵州师范大学物电院,贵州 贵阳 550001)

引言

对于我们常见到的刚体,如均匀细棒、圆盘、圆环、圆柱等,教科书中已给出其转动惯量的结论,我们也可以根据转动惯量的定义计算出来,但对于另外一些刚体,如椭圆盘、球体、长方体、六面体等这些刚体,其转动惯量的推导和计算教科书并没有给出,有些刚体转动惯量的计算上也有一定的难度,本篇文章将对这些刚体的转动惯量在理论上进行一些研究,计算出它们的转动惯量.

1 球体的转动惯量

质量为m,半径为R 的均匀球体,计算通过中心轴的转动惯量.

方法:分割积分法[1]

如图1把球分成很多的薄圆盘,薄圆盘的半径为

图1

质量为

dm =ρdV =ρπr2dx

整个球的转动惯量为

球的质量

得到结果

2 椭圆盘的转动惯量

质量为m 的均质薄椭圆盘,其长半轴为a,短半轴为b,计算其对x、y、z轴的转动惯量.

方法:质量投影法[2]

(1)首先计算对x 轴的转动惯量

如图2所示,将椭圆盘向y 轴投影得到长为2b的线段,质量仍为m,但质量非均匀分布,其质量线密度为

图2

那么,长为2b的线段对x 轴的转动惯量即系均质椭圆盘对x 轴的转动惯量.

计算为

(2)数学计算[7]

于是有

(3)结论

②同理得均质椭圆盘对y 轴的转动惯量为

③利用正交轴定理得出对z轴的转动惯量为

3 均质六面体的转动惯量

如图3所示,已知六面体的长为a、宽为b、高为c,其质量m 均匀分布,分别计算六面体对过质心 的x 轴、y 轴、z轴 的 转 动 惯 量.

图3

方法:质量投影法[3]

(1)首先计算对z轴的转动惯量

将六面体向Oxy 平面投影得到长为a 宽为b的与z 轴垂直的矩形平面s,其质量仍为m 且均匀分布,这样就把六面体对z 轴的转动惯量转化为均质矩形平面s对z 轴的转动惯量;再将平面s向y 轴投影,得到长为a 的线段(细杆),其质量仍为m 且均匀分布,线段a对x 轴的转动惯量为

即为平面s对x 轴的转动惯量.

(2)同理得平面s对y 轴的转动惯量为

(3)因此平面s对z 轴的转动惯量为

此即均质六面体对z轴的转动惯量.

(4)同理得均质六面体对x 轴、y 轴的转动惯量

(5)讨论 当a=b=c=l时,

此即均质六面体转化为均质正六面体.

4 均匀长方形薄板的转动惯量

已知长方形薄板的长为a、宽为b、质量为m,转动轴为其对角线,计算其转动惯量.

方法:定积分法[5]

如图4所示,取对角线为x 轴,原点为O 和它垂直的直线为y 轴,令σ为薄板的面密度.

图4

取一长方形窄条,长为l,宽为dy,由转动惯量的定义得到绕对角线(x 轴)转动的转动惯量为

将l代入式(1)得

5 空心立方体柱的转动惯量

如图5所示,已知空心立方体(即由四块正方形薄板构成),质量为m,边长为2R,转轴通过重心并和图面垂直,计算其转动惯量.

方法:为了求四薄板空心立方体绕过它的重心并垂直图面的轴的转动惯量,先求一块板绕该轴的转动惯量.

图5

距O 轴的距离是

r2=R2+x2

所以,此窄条绕O 轴的转动惯量是

因此整个薄板绕O 轴的转动惯量是

结论:由于四块薄板对O 轴是对称的,所以整个立方体对O 轴的总的转动惯量为

6 结束语

本文从转动惯量的定义出发,采用了分割积分法,质量投影法等方法,计算了椭圆盘、六面体、正立方体,空心立方体、转轴在对角线上的长方形薄板等几种不常见刚体的转动惯量,给出了教材中没有的计算方法,对同行和研究这方面的学生有一定的借鉴作用.

[1][美]F.W.Sears.大学物理学(第一册)[M].郭泰运译.人民教育出版社,1979.274~278

[2]王永超.刚体转动惯量的质量投影法[J].大学物理,2010,9

[3]漆安慎,杜婵英.普通物理学教程:力学[M].北京:高等教育出版社,2005.222~226

[4]徐德,刘聚成,袁贞丰.大学物理学习题解答[M].北京:人民教育出版社,1989.319~324

[5]周衍柏.理论力学[M].北京:人民教育出版社,1982

[6]马文蔚.物理学(上册)[M]5版.北京:高等教育出版社,2008.104~111

[7]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M]3版.北京:高等教育出版社,2001.224~225

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