Neumann边界条件下图像复原的TSVD算法＊

杨陈波 黄小为 王 华

（武汉理工大学自动化学院1） 武汉 430070） （武汉理工大学理学院2） 武汉 430070）

（湖北省公安县职业技术教育中心学校3） 荆州 434300）

数字图像复原是图像处理中的重要内容，其目的是增强降质模糊图像的质量．数字图像复原问题是典型的不适定问题，模糊图像即使带有很小的噪声也会导致复原图像与原始图像的巨大偏差．正则化方法是求解不适定问题的重要方法［1］．Kirsch用基于谱分析理论，通过引入正则化滤子函数构造正则化算子，为正则化方法的建立和误差分析提供了理论依据．然而这种谱理论的正则化方法在图像复原问题中很少被采用，关键问题在于奇异系的计算较困难．人们通常求助于不需要计算奇异系的Tikhnov正则化方法和迭代正则化方法．但是，在Neumann边界条件假设下，具有对称点扩散函数的图像复原问题可以转化为解离散卷积问题，通过对离散卷积算子的性质分析，其奇异系容易得到，因此本文考虑利用TSVD方法解决这一类问题，并给出相应的算法．

1 Neumann边界条件下图像复原的TSVD算法

1.1 图像降质模型

由平移不变模糊函数和噪声所导致的图像降质离散模型可表示为

式中：f为M×N的原始图像；g＝g0＋r为带有噪声的模糊图像，而g0是由成像系统导致的模糊图像，r为噪声；i＝m，…，M－m＋1；j＝n，…，N－n＋1．大小为（2m－1）×（2n－1）的h（s，t）表示成像系统的二维点扩散函数（PSF）．图像复原问题就是在给定点扩散函数h（s，t）的条件下，将带噪声的模糊图像复原［2－3］．

模糊图像的形成不是只由图像本身像素值确定，还必须对图像外的像素值作出一些假设，这些假设称为边界条件．在图像处理问题的研究中，有各种关于边界条件的假设［4－8］．为了尽量减少图像边界处的振铃现象［9］，文中假设原始图像具有Neumann边界条件．在本文中，还假定离散的点扩散函数h∈R（2 M－2）×（2 N－2）是对称的，即满足

1.2 图像复原问题转化为解离散卷积问题

假设大小为M×N的原始图像f具有Neumann边界条件，对f作反射延拓得到大小为（2 M－2）×（2 N－2）的图像F，即满足

此时F与H的卷积满足

于是问题（1）转化为解卷积问题（3）．定义离散卷积算子TH：R（2M－2）×（2N－2）→R（2M－2）×（2N－2），

通过计算算子方程（5）的正则解，可得复原的图像．

由式（4）定义的卷积算子TH是自伴的，即＝TH，而且关于奇异系还有如下结论．

1.3 TSVD图像复原算法

设X，Y是实Hilbert空间，内积为（·，·），模为‖·‖，T：X→Y是线性紧算子，考虑算子方程

在实际问题中，右端是近似已知的观测结果，记为yε∈Y，y－yε≤ε（ε＞0为方程（6）右端的误差上限）．因此考虑方程

对于TSVD正则解的误差有如下结果：

由定理1的结果，可以确定卷积算子TH的奇异系，将其代入式（8）中计算出复原结果，按定理2中的方法选取正则参数，即截断奇异值．

2 图像复原实验

为了验证图像复原的TSVD算法的有效性，考虑散焦型模糊图像的复原．原始图像（Matlab中的cameraman图像）被半径为5的散焦型离散点扩散函数模糊，所得模糊图像大小为246×246，并带有信噪比为50dB的高斯白噪声（均值为0），复原实验由 MTLAB7．0实现．原始图像，带噪模糊图像及复原图像见图1～3．

图1 原始图像

图2 模糊加噪图像

图3 复原图像

3 结束语

通过数值实验表明，本文提出的方法对具有对称点扩散函数的模糊（含有噪声）图像复原有很好的效果，振铃效应大大减弱．虽然复原效果比没有噪声的图像复原效果稍差，但实际问题中图像通常含有噪声，因此本文算法更具有实际应用价值．图像复原问题是大规模的不适定问题，通常的算法是基于Tikhnov正则化方法和迭代正则化方法给出的，但是在Tikhnov正则化算法中，正则参数需要大量的计算才能确定，而在迭代正则化算法中，虽然迭代参数即为迭代次数，正则参数容易确定，但是通常收敛非常缓慢，迭代次数相当大，也导致较大的计算量．由于图像复原问题在Neumann边界条件下转化为解循环卷积问题，其算子的奇异系容易得到，于是基于TSVD正则化方法的算法得以实现，其解的稳定性依赖于为奇异值的截断，算法的计算量大大减少．

［1］Engl H W，Hanke M，Neubauer A．Regularization of inverse problems［M］．Dordrecht：Kluwer，1996．

［2］Jain A K．Fundamentals of digital image processing［M］．Englewood Cliffs NJ：Prentice－Hall，1989．

［3］Lagendijk R L，Biemond J．Iterative identi－cation and restoration of images［M］．Norwell MA：Kluwer Academic Publishers，1991．

［4］Kirsch A．An introduction to the mathematical theory of inverse problems［M］．New York：Springer，1996．

［5］Gonzalez R，Woods R．Digital Image Processing［M］．Boston MA：Addison－Wesley，1992．

［6］Ng M K，Chan R H，Tang W C．A fast algorithm for deblurring models with Neumann boundary conditions［J］．SIAM J．Sci．Comput．，1999，21：851－866．

［7］Serra－Capizzano S．A note on antireflective boundary conditions and fast deblurring models［J］．SIAM J．Sci．Comput，2003，25：1 307－1 325．

［8］Shi Yuying，Chang Qianshun．Acceleration methods for image restoration problem with different boundary conditions［J］．Applied Numerical Mathematics，2008，58：602－614．

［9］Luk F，van Devoorde D．Reducing boundary distortion in image restoration［C］∥Advanced SignalProcessing Algorithms，Architectures and Implementations VI，Proceedings of SPIE 2296，1994．

［10］黄小为，吴传生，李卓球．TSVD正则化方法的参数选取及数值计算［J］．华中师范大学学报：自然科学版，2006，40（2）：154－157．