汽车钢板弹簧刚度系数分析研究

黄世伟，张鑫星，陈海平，李英楠，韦 宁

（广西大学 机械工程学院，广西 南宁 530004）

在现代汽车设计中，对汽车的各种使用性能要求越来越高，乘员舒适性和货物安全性，占据着重要的地位。钢板弹簧是汽车悬架系统中一种常用的弹性元件[1]，弹性地连接车身与车桥，起到缓和车辆所受冲击力和衰减车辆振动的作用。钢板弹簧的刚度，是一个重要的性能参数，合理的计算出钢板弹簧刚度系数，是汽车设计人员一直努力方向。

板簧安装如图1所示。板簧工作前，用起定位作用的中心螺栓连接，把钢板弹簧用中心螺栓夹紧后放在车桥上，再按照一定的距离，弹簧各片中部用两个对称布置的U型骑马螺栓夹紧[2~3]。

图1 钢板弹簧安装示意图

本文研究对象是共有5单片板簧所构成的等截面式钢板弹簧，各片几何尺寸参数如表1所示。

表1 钢板弹簧参数表（mm）

由于钢板弹簧受力复杂，本文只考虑上下方向的垂直载荷作用，所受载荷如图2所示。

图2 钢板弹簧受力示意图

在ANSYS中，通过设置不同的摩擦系数，来模拟不同的接触情况。本文摩擦系数为MU=0.12。

1 两单片板簧有限元分析

1.1 建立有限元分析及划分网格

分析时，可以忽略两片板簧之间的尼龙垫片、钢板弹簧卷儿和中心螺栓。钢板弹簧中间部分被两个U型螺栓夹紧，可以认为中间的部分是固定不动的，而两U型螺栓之外的部分，认为是接触的。采用SOLID92实体单元对模型进行网格划分[6~7]。

进行刚度分析时，选用TARGE170和CONTA174这两种面-面接触单元来模拟[8]，指定第二片的上表面为目标面，与之相接触的第一片下表面为接触面。

1.2 约束及加载

两U型螺栓之间的弹簧各片之间没有相对滑动和摩擦[4~5]，把板簧中间部分粘接起来。两U型螺栓之外部分，认为各片之间在外载荷作用下，有相对滑动、摩擦与磨损。在钢板弹簧弧形顶端的中间部分，加载位移载荷，受垂直向下载荷为6 500 N。

1.3 结果分析

本文分析的是刚度不变的板簧，可以利用最小二乘法进行曲线拟合，得到两片板簧的整体刚度。然后整体刚度减去第一片板簧的刚度，就可以得到第二片刚度。当板簧长度为1 200 mm、宽度为60 mm、厚度为9 mm时，其平均刚度为98.23 N/mm。

1.4 钢板弹簧刚度与几何参数关系

利用有限元分析方法，固定第一片钢板弹簧的几何尺寸不变，只改变第二片钢板弹簧的长度，保持宽度、厚度均不变，计算得到两片整体的总刚度，然后用总刚度减去第一片的刚度，则得到第二片的刚度。同样，可以得到下列刚度与宽度、厚度的关系。得到的离散数据如下表2、表3、表4所示。

表2 刚度—长度实验数据表

表3 刚度—宽度实验数据表

表4 刚度—厚度实验数据表

由以上可知，任何一个参数改变，都可以求得钢板弹簧的刚度。

2 钢板弹簧刚度与几何参数关系

2.1 钢板弹簧刚度与长度之间的关系

对长度与刚度之间的依赖关系，进行最小二乘法曲线拟合。可以断定因变量和自变量之间符合线性关系，如图3所示。

图3 刚度与长度关系图

图中，

y为板簧刚度；

x1为板簧长度。

设

即选取 φ0(X1)=1，φ1(X1)=X1，计算

所以得到法方程为

解得

故拟合曲线为

2.2 钢板弹簧刚度与宽度之间的关系

由表3可知，刚度与宽度之间的关系如图4所示。

图4 刚度与宽度关系图

设

同理，可以得到法方程为

解得

故拟合曲线为

2.3 钢板弹簧刚度与厚度之间的关系

由表4可知，刚度与长度之间的关系如图5所示。

图5 刚度与厚度关系图

设

同理，所以得到法方程为

解得

故拟合曲线为

3 多元函数的最小二乘法

把上述最小二乘拟合的有关概念和结论，推广到多元函数，利用已知的离散数据拟合多元函数。3个变量时，推广到三元函数[10]，假定已知离散数据。

以及相应的权系数

要求做出如下的函数。

使得

类似一元最小二乘法问题，系数同样满足下列方程

其中的内积为

同样，解正规方程组

则式(14)称为法方程或正规方程组，是n+1阶线性代数方程组，其系数矩阵为

其中的基函数分别为式(16)。

则解正规方程组(19)则可得

a0,a1,…,a7。

利用最小二乘法，根据实验数据表5进行刚度与各几何参数关系的曲线拟合。

表5 刚度与参数实验数据表

根据前面所讨论的数学模型，本文选定的拟合模型的形式为下式（20）。

求解法方程（18），把表5实验数据分别代入方程(16)和(20)，则得到方程(21)。

所以，解方程(21)可得

故所拟合的曲线为

式中，

x1为板簧长度；

x2为板簧宽度；

x3为板簧厚度。

4 利用公式求出弹簧刚度

又根据弹性元件串联公式

式中，ki（i=1，2，…，n）为钢板弹簧各片刚度。

由于分析的是由5片板簧组成的钢板弹簧，则把每一片的几何参数表5代入式（22）中，可以求得单片板簧的刚度，再利用式（23），可以求出整个钢板弹簧的刚度值。

其中，

通过把数据代入式(21)，所以可知钢板弹簧的平均刚度为118.94 N/mm。

5 整体分析法验证钢板弹簧刚度

建立整体有限元模型[9]，由于结构的对称性，分析一半有限元模型即可，看成是悬臂梁的形式，把弹簧中部各片粘接起来。加载集中载荷为6 500 N。则1/2钢板弹簧有限元模型约束如图6所示。

利用最小二乘法进行曲线拟合，可知整体板簧刚度的平均值为125.56 N/mm。两种方法所得到的刚度值进行比较，如表6。

表6 钢板弹簧刚度计算值比较

公式拟合法计算的刚度值，与整体建模分析法相比，存在的较小误差。所以，利用拟合的公式进行钢弹簧刚度的计算，有一定的借鉴意义。

6 结束语

考虑摩擦，非线性特性的单片板簧刚度，等于两片板簧的总刚度，再减去第一片板簧的刚度；

任何一个几何参数改变时，都可以求得钢板弹簧的刚度；

利用拟合公式可以看出，计算的刚度值与整体建模分析法相比，存在较小误差。

[1]刘惟信.汽车设计[M].北京：清华大学出版社，2001.

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