利用微元法简化对面积的曲面积分计算

林玎

(吉林建筑工程学院基础科学部，长春130118)

0 引言

1 设Σ是球面或球面的一部分，球面方程:x2+y2+z2=R2

利用球面坐标［2］，该球面的方程为r=R.又设Σ:r=R.α≤θ≤β，γ≤φ≤ω.

利用球面坐标的坐标面φ=常数，θ=常数;把积分曲面Σ分成许多小块曲面，则曲面的面积微元为:

曲面上任一点(x，y，z)与球面坐标(r，φ，θ)之间的关系为:

所以，

解 用球面坐标计算，由(1)，(2)式得:

2 设Σ是柱面或柱面的一部分，柱面方程:x2+y2=R2

利用柱面坐标(r，θ，z)，该柱面的方程为r=R，又设Σ:r=R

α≤θ≤β，φ1(θ)≤z≤φ2(θ)，以坐标面z=常数，θ=常数，

分割曲面Σ，设ds为上任一小块曲面，则曲面微元ds=Rdθdz，曲面上任一点(x，y，z)与其柱面坐标(r，θ，z)之间的关系为:

所以，

解:利用柱面坐标，由(3)，(4)式得:

下面介绍一个灵活利用球面坐标计算曲面积分的例子

例3求圆柱面x2+y2=2xa(a＞0)被锥面和坐标面xoy所截的面积

在Σ上用θ=常数的直线(平行于z轴)和z=常数的平面分割曲面Σ，面积元素ds=adθdz

3 结语

由例1～例3可见，利用微元法把曲面微元转化成两个变量微分之积，对面积曲面积分的计算方便快捷，效果较好，可在以后教学中借鉴.

［1］张永明.计算柱面上对面积的曲面积分的一种新方法［J］.数学的实践与认识，2008(4):201-203.

［2］同济大学数学系.高等数学(下册)［M］.北京:高等教育出版社，2007:215-218.