标准正交基应用于通信原理课程的教学研究

和 亮，魏西媛

（西安外事学院 陕西 西安 710077）

2009年1月，教育部高教司设立了“利用信息技术工具改造课程”项目，“用MATLAB和建模实践改造工科线性代数课程”是其中一个子项目。 而“需求牵引”和“技术推动”正是此项目改革的动力[1-2]。是的，后续课程的需求是什么？采用MATLAB软件如何增强教学？这是当前线性代数课程教育者必须思考的。

我校作为参与此项目院校之一，教改也取得了显著成果，得到了专家、教师和学生的支持，给予很高的评价，但是如何将线性代数在工科教育中的重要作用进一步发挥出来呢？工科线性代数改革的主要目的不是在于课程自身，而是对后续课程产生辐射，推动各种有关的后续课乃至整个教学计划的改革和现代化。

基于此，本文针对通信原理课程内容杂而多，难教难学的特点，以此课程中调制内容为例，探讨了现有教学中存在的问题，提出了将线性代数中向量空间及标准正交基的知识与调制内容进行深度结合，并将MATLAB运用于教学的解决方案。

1 通信原理课程教学现状

通信原理课程是通信工程、电子信息工程等本科专业的专业基础课。在实际教学中，本科院校一般都是选用国内一些优秀教材，这些教材内容选取大同小异。一般由随机过程、信道与噪声、模拟调制系统、数字基带传输系统、数字频带传输系统、模拟信号的数字传输系统、数字信号的最佳接收、同步原理、差错控制编码这些内容组成。由于其具有很强的理论性、系统性和物理性，内容杂而多，很多学生反映“乱”，而就每一章来说，能听懂，会做题，但没有课程的整体思路。现以调制部分的教学为例，讨论难教难学的原因。原因一，调制方式多、数学表达式多。在大多数通信原理教材中将调制分为两部分，一部分是模拟调制，包括有AM、DSB、SSB、VSB等；另一部分是数字调制，包括有二进制或多进制的ASK、FSK、PSK以及QAM、MSK、GMSK等。不同的调制方式有着不同的数学表达式。尽管在教学中不断强调，不论是模拟调制还是数字调制都是围绕幅度调制、频率调制、相位调制3类基本调制展开的，本质是一样的。但是在理论学习过程中，众多的调制方式、数学表达式仍然让学生感到混乱、难理解。原因二，知识抽象，有很强的物理性。调制在实际中有广泛的应用，但是学生学习这部分常常会感到，即使能将每个调制方式的表达式记住，却不知如何用；题目中已知条件给了不少，却弄不清楚是什么意思；面对实际问题，不知如何分析，如何实现。这些都是由于知识抽象，不理解公式和物理量的物理意义所造成的。如何解决或改善上述两个问题呢？首先，如果能将纷杂的调制方式统一为一个数学模型，换句话说，就是可以用一个通用的数学模型分析所有模拟和数字调制方式，那么可以改善甚至解决第一个问题。其次，如果能将MATLAB用于教学，通过仿真将抽象知识直观化、具体化，那么可以解决上述第二个问题。以下讨论具体解决问题的方案。首先介绍调制方式的数学模型如何统一。

2 调制数学模型的统一

为解决调制方式多，数学表达式繁杂给教学带来的困难，现将线性代数中向量空间和标准正交基概念引入，通过阐述向量空间和信号空间的关系，将标准正交基和通信原理课程中的调制内容结合起来，实现调制方式数学模型的统一。

2.1 向量空间与信号空间的联系

向量空间就是线性代数中一个核心概念。掌握有限维向量空间，将其扩展到信号空间，这一点对于应用数学研究者是非常重要的。

2.1.1 向量空间

根据向量空间定义[3]，可以获知以下信息：1）向量空间是满足某种运算关系的向量的集合；2）在n维向量空间中线性无关的n个向量构成的向量集合就是向量空间的一个基；3）基是生成向量空间的最基本的向量集合，空间中的任意一个向量都可以由基线性组合得到；4）在Euclid空间引入标准正交基对于揭示空间结构、简化表述非常有利。

此概念具有非常直观的几何意义。例如在二维向量空间中的体现如图 1所示。 其中向量 e1=[1，0]T，e2=[0，1]T。 根据标准正交基的定义可知，e1、e2是二维向量空间的一个标准正交基。那么，二维向量空间中的任意一个向量都可以由e1、e2线性组合得到。如x=k1e1+k2e2，其中是实常数。

图1 标准正交基的几何意义Fig.1 Geometric meaning of standard orthogonal basis

2.1.2 信号空间

根据信号空间定义[4]可知，信号空间是由信号构成的Hilbert空间或线性空间。也就是说，信号空间也是满足一定条件[4]的集合，其元素是信号。如前所述，向量空间是由向量构成的线性空间。由此可以看出：信号空间与向量空间本质相同，均是满足一定条件的集合，只是集合中的元素不同。若将向量空间中的元素向量换成信号，便是信号空间。那么，向量空间中基的概念可以推广到信号空间：1）两两正交且能量均为1的信号集合是信号空间的标准正交基或归一化正交基。2）由基组合而成的信号组成的集合便是信号空间[5]。换言之，信号空间中的任意一个信号都可以由基组合得到。当信号空间中的基给定时，空间中信号的位置完全由组合系数构成的向量决定。

根据函数正交和正交函数集[1]定义可知，sin（ωct）和cos（ωct）互为正交函数，由上述讨论显然可以看出，sin（ωct）和cos（ωct）可以看作二维信号空间的一组标准正交基，那么二维信号空间中的任意一个信号s（t）均可以由基线性组合得到。

2.2 正交调制原理

在通信中，基带信号不能直接送入实际信道进行传输，为了更好地适应信号传输通道的频率特性，必须用基带信号对载波进行调制来完成信号传输[6]。在通信发展的过程中，随着技术的不断进步，衍生出很多种调制解调方式，它们之间的不同之处在于用待传输信号去控制载波的不同参数，例如载波的幅度、频率、相位或者它们的组合。已知已调信号的一般数学表达式为：

根据上面讨论可知，sin（ωct）和 cos（ωct）是二维信号空间的一组标准正交基，那么（2）式显然可以理解为：已调信号 s（t）是 sin（ωct）和 cos（ωct）线性组合。 另外，在（3）式中可以看到，I（t）、Q（t）包含了调制信号的幅度信息和相位信息。这就意味着，只要确定了 I（t）、Q（t），便可以实现各种调制方式。 因此，调制过程，等价于根据待传输的基带信号获得同相分量 I（t）和正交分量 Q（t）后，对基函数 cos（ωct）、sin（ωct）进行线性组合的过程。进一步，解调的过程即为从已调信号中提取 I（t）、Q（t）并由其生成基带信号的过程。

2.3 常见调制方式的同相分量和正交分量

表 1 给出常见调制方式的同相分量 I（t）和正交分量Q（t）[7]。其中 AM、DSB、SSB和 FM所对应的 m（t）为模拟基带信号，2ASK、2FSK、2PSK、MSK 和 QAM 所对应的 m（t）为数字基带信为码元宽度。

通过表中讨论可以看出，通过标准正交基的概念将正交调制模型引入通信原理课程教学中，不仅将线性代数知识和专业课深度结合，而且可以将模拟调制和数字调制内容进行整合，降低了教与学的难度，使得通信原理课程知识结构更加简单明了，在深化线性代数教学改革的同时也推动了通信原理课程改革。

表1 几种常见调制方式的同相分量和正交分量Tab.1 Several common modulation of the in-phase and quadrature components

3 MATLAB用于调制内容教学

为了解决上述第二个问题给教学带来的困难，可以利用MATLAB软件的特点将其用于教与学，增强教学效果。

3.1 MATLAB用于“教”

通过上述讨论可知，纷杂的调制方式可以统一成一个正交数学模型，不同的调制方式仅仅对应着不同 I（t）、Q（t）。 那么，在课堂上教师可以用MATLAB为学生演示正交调制原理下各种调制方式所对应参量。带来的好处就是将抽象知识具体化、直观化，使得学生更容易接受这部分内容，同时激发了学生学习兴趣。图2就是用MATLAB软件仿真实现QPSK调制方式时获得的时域波形图、频谱图及各参量波形示意图。

3.2 MATLAB用于“学”

为了加强教的效果，教师可以以课程设计等形式要求学生通过正交调制数学模型编写MATLAB程序，来实现多种调制方式。这样做有什么好处呢？1）学生先经过理论分析，然后再仿真实现，在这个过程中会遇到问题多种问题，那么分析问题、解决问题是学生必然要经历的过程。当学生通过理论指导完成仿真实现时，不仅加深了他们对调制概念的理解，更好的掌握调制理论，了解调制解调的本质，而且反过来又帮助学生验证了理论的正确性，在激发学生学习兴趣的同时提高学生学习效率。2）结合实际问题，学生完成了调制理论向工程化的转变。例如，在一个通用的硬件平台上，用软件实现不同调制，这正是调制解调在软件无线电领域的一个工程应用。培养了学生提出问题、分析问题、解决问题以及工程应用的能力。3）为学生本科毕业设计积累了素材。

图2 QPSK波形图、频谱图及各参量示意图Fig.2 QPSK waveform，spectrogram and the parameter diagram

4 结束语

本文在完成了“用信息工具改造线性代数课程”的教学改革基础上，针对通信原理课程教学中存在的问题，以调制内容为例提出了将线性代数中的标准正交基概念引入和将MATLAB用于教学的解决方案。需要说明的是，此方案通过在我校本科电子信息工程专业进行了试行，根据教学效果及后续毕业设计结果来看，文中提到两个问题均有显著的改善，但是要取得更好的教学效果，我们还有大量的工作要做。技术推动、需求牵引是一切科学技术发展的动力。教育教学也只有如此，才能面向未来，通信原理课程也不例外。

[1]陈怀琛，高淑萍，杨威.工程线性代数（MATLAB版）[M].北京:电子工业出版社，2007.

[2]程铃.基于Matlab的多进制数字调制仿真 [J].现代电子技术，2009（22）：60-62.CHENGLing.Simulation of multi-decimal digitial modulation based on Matlab[J].Modern Electronic Technique，2009（22）：60-62.

[3]David C.Lay.Linear Algebra and Its Applications（Third Edition）[M].北京:电子工业出版社，2004.

[4]郑君里，应启珩，杨为理.信号与系统引论[M].北京:高等教育出版社，2009.

[5]汪学刚，张明友.现代信号理论[M].2版.北京:电子工业出版社，2005.

[6]张辉，曹丽娜.现代通信原理与技术[M].2版.西安:西安电子科技大学出版社，2008.

[7]张贤达，保铮.通信信号处理[M].北京:国防工业出版社，2000.