嵌入式系统中数字滤波器的分析和设计

詹圣益

0 引言

随着科技技术发展，许多高新技术产品都需要配备数字控制器。数字信号处理在通信、图像、军事、航空航天、医疗和家用电器等众多领域，得到了广泛的应用。在数字信号处理应用中，数字滤波器十分重要并已获得广泛应用，如图1所示：

图1.数字信号处理器模型

1 理想滤波器与实际滤波器

根据滤波器的选频特性，一般将滤波器分为低通、高通、带通、带阻4种。理想滤波器在通带内的幅频特性应为常数，相频特性的斜率为常值；在通带外幅频特性应为零。实际上，单位脉冲响应是非因果的且无限长的，在物理上是不能实现的。这说明，在截止频率处呈现直角锐变的幅频特性，或者说在频域内用矩形窗函数描述的理想滤波器，是不可能存在的。实际滤波器，在通带和阻带之间存在一个过渡带，在过渡带的频率成分不是完全被抑制，而只是受到一定比例的衰减。当衰减得越快，越接近理想的滤波器，同时其阶数也越高。

2 数字滤波器的特点

数字滤波器可以满足幅度和相位特性的严格要求，也可以避免模拟滤波器的电压漂移、温度漂移和噪声等问题。数字滤波器甚至能够实现模拟滤波器在理论上也无法达到的性能。例如一个数字低通滤波器，能做到＜Fco的信号完全通过并且完全阻止＞Fco的信号，此时模拟滤波器无法区分很小信号频率的变化。但数字滤波器受限于采样频率和计算速度，根据奈奎斯特采样定理，采用频率必须大于被采样信号最高频率的2倍。否则，系统出现混叠而工作异常，就要通过其它方法来解决。

数字滤波器是个离散系统，它所处理的对象是用序列表示的离散信号或数字信号。根据数字滤波器的时域特性，可以分为FIR有限长冲激响应滤波器和IIR无限长冲激响应滤波器。

公式（1）

当分母为1（ai均为零）时，系统函数有N个零点，1个在原点的极点。将函数展开，如公式（2）

公式（3）

系统输出的差分形式，如公式（4）

这种滤波器是非递归(No-Recursive)型，也就是说 FIR数字滤波器的输出只和当前及以前的输入信号有关。

当 ai不全为零，且分母存在至少一个根不与分子抵消时，如公式（5）

这种滤波器是递归(Recursive)型的，IIR数字滤波器的输出，不仅和当前及以前的输入信号有关，而且还和以前的输出信号有关。

从性能上来说，IIR滤波器传输函数的极点，可位于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存储单元少，所以经济而效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。选择性越好，则相位非线性越明显。相反，FIR滤波器却可以得到严格的线性相位，然而由于FIR滤波器传输函数的极点固定在原点（输出只与有限项输入有关，所以传递函数分母为1,极点在零点），所以只能用较高的阶数达到高的选择性；对于同样的滤波器设计指标，FIR滤波器所要求的阶数可以比IIR滤波器高5～10倍，结果，成本较高，信号延时也较大；如果按相同的选择性和相同的线性要求来说，则IIR滤波器就必须加全通网络进行相位较正，同样要大增加滤波器的节数和复杂性。FIR不易取得非常优秀的通带与阻带衰减特性，但保证了优越的稳定性，且具有线性相位特性，这些使得FIR滤波器广泛地应用于线性要求较高的场合。

IIR滤波器必须采用递归结构，极点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定。另外，在这种结构中，由于运算过程中对序列的舍入处理，这种有限字长效应有时会引入寄生振荡。相反，FIR滤波器主要采用非递归结构，不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题，运算误差也较小。此外，FIR滤波器可以采用快速付里叶变换算法，在相同阶数的条件下，运算速度可以快得多。

3 滤波器的设计

以往滤波器由外围电路装置或专门数字信号处理机来完成，随着集成电路发展和处理器计算能力的提高，绝大部分滤波需求可以由处理器本身完成，不再需要额外的装置。因此，需要在嵌入式系统上实现数字滤波。数字滤波器通常由缓冲器、延时器、加法器和乘法器等基本部件构成。数字信号处理过程中，滤波器分为两类，一类需要通过数字滤波器对信号某一范围内的频率进行衰减或抑制，保留所需的信号频率。被称其为频率选择滤波器。另一类主要应用于信号锐化、平滑，被称之为均衡器。

在设计任何一个滤波器之前，首先要明确的是滤波器指标，此时会得到关于通带频率、截至频率、带宽、幅度响应和相位响应。根据参数要求，就可以建立一个目标的模拟滤波器模型。然后通过映射（如脉冲响应不变法、双线性映射等等）将模拟滤波器变换为数字滤波器，得到滤波器的参数。将以上的结果进行性能分析和仿真，分析其频率特性和相位特性，验证设计结果是否满足指标需求。

近年来，高速、廉价的数字信号处理器应用于各个领域，大有完全取代模拟控制IC的趋势。DSP是一种实时、快速、特别适合于实现各种数字信号处理运算的微处理器。由于它由具有丰富的硬件资源、改进的哈佛结构、高速数据处理能力和强大的指令系统，如表1所示：

表1 比较几种常见滤波器特性

DSP本身支持定点运算和浮点运算。虽然可以用浮点来进行计算，但单精度浮点只有24位，容易在计算过程中引入误差。而双精度浮点型有48位尾数，能满足计算精度要求，但其速度偏慢。

最广泛使用的滤波器为均衡器，或滑动滤波器。滑动平均滤波实现比较简单，它将前 N次的输入进行求和再取平均。为了满足采样定理，就需要对采样频率有较高要求，Fs＞N*f，f为原始信号中基波频率。由于要完全消除杂讯，滤波阶数较高，计算量大，且时间延迟会更明显。实际应用中N取值通常小于10。此类滤波器具有FIR滤波器的特点，当前输出只与输入有直接的关系，所以其输出稳定，计算处理比较少，使其速度比较快。这也正是其被工程师大量采用的原因。

公式（6）

IIR滤波器的实现结构分为直接型，级联型和并联型。直接型结构对系数ai和bi的精度要求比较严格。从极零点的角度来看，任何一个系数 ai的改变都将影响系统各零点的分布；同样，任何一个系数 bi的改变都将影响系统各极点的分布。当阶数 N较高时，这种影响将更大。将高阶变成一系列不同组合的低阶系统来实现。而对于级联结构来说，各二阶节点的极零点相对独立，因此它有一定的独立性，也便于调整。对于并联型结构，可以独立的调整其极点位置，但是不能控制零点。对于运算误差，并联的各基本节不互相影响，而级联型前级的输出误差有座位后级的输入误差，因此，并联型结构比级联型结构的运算误差要小一些。总之，当对传输零点的精度要求较高时，采用级联型较为合适，其他情况，采用并联型结构稍好一些。零点对于我们的系统来说对应着带外的衰减，这是滤波器很重要的设计指标。因此我们采用级联型结构。使用IIR滤波器需要注意的是数字运算可能溢出，需要在设计上加入限幅处理，避免正向或负向的溢出，来确保其输出的稳定性。

巴特沃斯滤波器特别适用于低频应用，其对于维护增益的平坦性来说非常重要。能够最大化滤波器的通带平坦度。该响应非常平坦，非常接近DC信号，然后慢慢衰减至截止频率点为-3dB，最终逼近-20dB/decade的衰减率，切比雪夫滤波在通带上增加了一些纹波，也使得其更快速的衰减。

根据实际电路的应用需求，通常会选用巴特沃斯滤波器或切比雪夫滤波器。前者带通滤波器具有平坦的响应特性，而后者带通滤波器却具有更陡的衰减特性。具体选用何种特性，需要根据电路或系统的具体要求而定。当必须使用高阶滤波器时，会根据传递函数特点，将其分解为多个 1阶和2阶滤波器相乘。因为滤波器级联等效于两个传递函数的相乘。整个滤波器可以转化为一系列低阶滤波器的相乘。使整个计算的量化定标被限定在一定范围内，不会像直接使用高阶滤波器一样出现很高的数量级，以及很复杂的运算。并且分解后低阶滤波器后，对各部分的拟合也将简化，设计被分解为几个低阶滤波器的小问题。下式中H(z)是一个典型的2P2Z滤波器，具有2个零点和2个极点。在电力电子设计中，对原系统有很好的补偿作被大量使用。将其写出差分形式，计算当前输出只需要若干个乘法和最后的求和，完成了整个滤波过程。

公式（7）

值得注意的是PI/PID控制器跟2P2Z滤波器非常相似。在s域形式如G(s)，有3部分组成Kp比例系数，Ki积分系数，Kd微分系数。对G(s)进行Z变换可得到G(z)的形式，观察其结构，分子是2阶多项式，坟墓是1阶多项式。对比2P2Z传递函数，其b0,b1,b2分别由PID参数构成，而a1=1,a2=0。在软件中设计完成2P2Z滤波器后，通过简单的代数转换，计算出滤波器的系数。这样就不用重新软件实现PI/PID控制器。

公式（8）

公式（9）

4 总结

通过对滤波器的分析，对数字信号有了更深刻的认识。明确了传递函数幅值特性和相位特性判断依据，之后就能通过滤波器来对其进行修正。在实际设计过程中，侧重于离散系统的传递函数，最直接的指导软件实现。把理论概念以软件应用的形式表达，使今后设计嵌入式系统时能将理论能付诸于实际。研究常用滑动滤波器的离散域的函数，在使用该滤波器的一些条件和准则。分析以往没有使用过的无限冲激响应滤波器，着重分析2P2Z的滤波器，在工作的模拟滤波器中用的较多，数字化设计过程中必然会使用它。

总的来说，这次设计还是获益良多。尽管由于时间关系，没有对所有滤波器在Matlab下进行仿真。但在整个过程中，对知识面的理解更加深入了，抽象的理论慢慢成为具象的设计和应用。通过本设计使得将来进行相关工作或研究时更加顺利，起到推波助澜的作用。

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