用迈克耳孙干涉仪测量厚透明材料折射率

徐文韬，李全伟，李吉骜，周 进，周惠君

（南京大学 物理学院，江苏 南京210093）

1 引 言

迈克耳孙干涉仪作为一种高精度的光学仪器，在实验中有多种用途．如：测量激光的波长［1］，测量透明材料的折射率［2］，测量温度场分布［3］，等等．

物理实验课程中，迈克耳孙干涉仪测量玻璃折射率主要是利用出现白光干涉条纹的零光程条件［4－6］．由放入玻璃片前后出现白光0级干涉条纹的位置，得到增加的光程．再测量玻璃片的厚度，可计算得到玻璃的折射率［7］．然而，这种方法测量透明固体折射率尚有不足：a．用白光调节出干涉条纹难度很大；b．所得到的折射率是混合光的折射率，无法得到透明固体介质对单色光的折射率．考虑到介质色散，误差不容忽视；c．白光相干长度小，要求待测样品要尽量薄．

我们研究了实验中一些特殊现象的成因，并且提出了测量厚透明固体折射率的方法．该方法主要利用在光路中一半视场放入平行待测材料后，对应的干涉条纹出现压缩，调节反射镜，对比不放玻璃板和放入玻璃板条纹陷入和涨出，得到待测透明介质的折射率．

2 理论推导

迈克耳孙干涉仪原理如图1所示，由于补偿板的“完美”补偿，在普通迈克耳孙干涉仪中，光程差满足：

式中：n0是空气的折射率，可近似取n0＝1，dm是M1与M2′之间的距离，θ为入射光线与中心光线的夹角．增加λ／2项时表示考虑半波损失，反之不考虑．为方便起见，本文中将一律忽略λ／2项．

图1 迈克耳孙干涉仪光路图

假设现在迈克耳孙干涉仪两臂已调至等光程（Δ＝0），在光臂M1中平行于 M1放置平行玻璃板（厚度为db），如图2所示，增加的光程为

设移动动镜M1（图2箭头所指为正方向）距离为dm，这样两光臂的光程差为

产生干涉亮条纹的条件应为

利用折射定律n sinθ′＝n0sinθ以及基本三角公式，将（4）式化简，并舍去θ2以上高阶小量，可得产生的干涉亮条纹角度θ满足：

相邻亮纹之间k相差1，则有：

同时得到不加玻璃片时：

在用激光进行迈克耳孙干涉实验时，若移动动镜M1使两臂光程差缩小，则等倾干涉圆条纹将向内缩进；反之，条纹将涨出．

图2 平行待测样品对光路的影响

在两臂调至等光程的迈克耳孙干涉仪中平行于M1放入玻璃板时，由于玻璃板折射率大于空气折射率，此时显然光臂M1的光程大于光臂M2的光程．然而此时移动动镜M1向内（使光程差减少），条纹涨出；向外移动 M1，条纹缩进．出现了与之前不同的规律．

事实上，在不加玻璃片时

由于θ2≪1，这就要求kλ与dm异号，这样当｜dm｜缩小也减小，θ2值变小⇒θ变小，对应条纹缩进；反之，｜dm｜增大，增大增大，对应条纹涨出．

加入玻璃片后，由（5）式得

当dm增大时，θ2增大，对应动镜M1向内时，条纹涨出；dm减小时，θ2减小，对应动镜M1向外运动，条纹缩进．缩进涨出分界点为

3 实 验

3．1 借助调定零光程测玻璃对单色光折射率

在用白光调至零光程出现等倾圆条纹时，平行于M1放入玻璃板（如图3）恰过干涉条纹的圆心覆盖一半视场．用激光器（He－Ne，632．8 nm）代替白光照射，视场中左半边一片红，右半边出现等倾干涉圆条纹［如图4（a）］．向外移动动镜M1，左边条纹涨出，右边条纹缩进．当dm＝－（1－1／n）db时，两边干涉条纹会拼成1个完整的干涉圆条纹［如图4（b）］，测量db，读取dm，则可求出此玻璃对红光（632．8 nm）的折射率n．

将总厚度为24．491 mm光学玻璃（3块冕牌玻璃，厚度分别为：8．141，8．201，8．149 mm）放入光路中．初始调至零光程时，动镜位置读数为30．267 01 mm；利用 He－Ne激光器并调节动镜使两半干涉条纹拼成1个完整的干涉圆条纹时．读数为34．406 32 mm．这样，可计算得玻璃板（冕牌玻璃）对红光（632．8 nm）的折射率为：

图3 实验装置示意图

图4 实验观测条纹

实验数据如表1所示，由表1得出平均折射率为n＝1．511，查阅文献［5］得到的冕牌玻璃的折射率对波长656．3 nm 为1．513 89，对波长589．3 nm为1．516 30，符合很好．若近似取1．514为对波长632．8 nm的折射率，得到偏差仅为2×10－3．

表1 实验数据

3．2 只用单色光源测量介质对单色光的折射率

上节中所述方法仍然利用了白光找基准零光程，可以不利用白光，只利用He－Ne激光器测定折射率．

注意对于不同的db，使两半视场条纹重合移动的dm不同，可以不用调出确切零光程的位置，只通过测量玻璃板不同厚度时两半条纹重合的位置（玻璃板由少到多，过程中动镜只向一个方向移动），位置与玻璃板的厚度应有线性关系，通过对数据的拟合可以逆推出初始零光程位置求出玻璃的折射率．相关实验数据如表2所示，拟合直线如图5所示，拟合直线与y轴交于点30．294 20，求得的折射率平均值为1．512．不同厚度玻璃板对应的图样如图6所示．

表2 利用单色光源测量介质折射率

图5 拟合后曲线

图6 不同厚度玻璃板时两边条纹重合时图样

4 讨 论

实验误差主要来源于两半条纹重合时位置判定的误差．结合实测的实验装置数据，可对实验误差作如下估计：

不考虑测量db带来的误差，则

为了更直观地表现动镜移动0．01 mm后与原来两边条纹重合时的差异，用Zemax进行模拟．采用Zemax中的NSC模式对本实验进行模拟，所有玻璃材质采用K9材料（即冕牌玻璃），2块补偿板厚度为8．000 0 mm，光路中加入的玻璃板厚度为24．000 0 mm，相关位置参量：

光源（632．8 nm）：（0 mm，0 mm）；分束板的第二面中心：（200 mm，0 mm）；补偿板第二面中心：（250 mm，0 mm）；镜 M2中 心：（300 mm，0 mm）；玻璃板中心：（220 mm，60 mm）．

取K9材料对632．8 nm的光的折射率为1．515 1，根据文中的理论，动镜 M1的y轴坐标为104．079 5时，两边Δθ2值相等，编写ZPL程序，两边条纹重合（图7）；在104．089 8附近（改变0．01 mm）微调，可看出两边的差异（图8）．

图7 理论模拟图像

图8 改变0．01 mm后模拟图

本实验方法上有一些不足：一是调出等倾干涉圆条纹比较困难（保证 M2镜与 M1完全垂直）；二是实验中，圆条纹的中心会有小幅移动，需对实验装置进行微调；三是条纹较粗，对于两半条纹符合要求时的点的判断较难．

5 结束语

本文针对迈克耳孙干涉仪实验中的一些现象进行了分析，解释了这些现象的成因，并且由此设计了一种测量透明固体介质对单色光的折射率的方法．实验得到了较为理想的结果．此方法无需对迈克耳孙干涉仪改装，并且在一定厚度范围内仅需提高待测透明板的厚度便可提高实验的精度，可以测量液体的折射率、透明介质的色散等．

［1］ 肖文波，何兴道，朱泉水，等．利用迈克耳孙干涉仪测量激光波长的误差分析［J］．实验室科学，2010，13（5）：86－87．

［2］ 邓小燕，乔硚，潘永华，等．迈克耳孙干涉仪中补偿板与干涉条纹［J］．物理与工程，2006，16（2）：29－32．

［3］ 温学达，刘钊，周惠君，等．利用迈克耳孙干涉仪重建蜡烛火焰温度场［J］．物理实验，2007，27（6）：44－47．

［4］ 潘元胜，冯璧华，于瑶．大学物理实验第二册修订版［M］．南京：南京大学出版社，2004：137．

［5］ 赵凯华．光学［M］．北京：高等教育出版社，2004：130－134．

［6］ 马科斯·玻恩，埃米尔·沃耳夫．光学原理［M］．杨葭荪，等译．北京：电子工业出版社，2005：278－280．

［7］ 宋立尔．用迈克耳孙干涉仪测量气体固体折射率［J］．物理实验，1983，3（6）：272－273．