基于金属材料统一本构及损伤理论的模型研究

吴敬东， 李 涛， 金 莹， 马运惠

(沈阳化工大学机械工程学院，辽宁沈阳110142)

近几十年来，随着科学技术的迅猛发展，特别是航空、航天、核电等高尖端科技方面的突飞猛进，要求精准高速地模拟部件的力学特性，这就需要建立更加完善的材料统一本构模型，从而更准确地模拟材料受载状态下应力应变关系.

在经典力学基础上，随着理论和实验以及高尖端科学的发展，人们开始尝试建立新的金属材料本构模型，这类模型在模拟一维、二维、三维以及循环载荷加卸载作用下的塑性变形的同时，还能够模拟与时间相关的蠕变变形，这就是所谓的粘塑性统一本构模型.粘塑性统一本构理论是从上世纪60年代开始发展起来的新型本构理论，粘塑性统一本构模型有如下几种:Miller［1－2］模型、Hart［3］模型、Walker模型等.在研究材料的本构模型中，其理论体系由3类方程组成:一是本构方程;二是非弹性应变率方程;三是运动硬化和等向硬化内变量演化方程.粘塑性统一本构模型利用一套耦合的内变量演化方程来描述材料的应力-应变相互间的影响，不需要将弹性变形、非弹性变形和蠕变变形单独计算，不需要建立不同的本构模型，也不用判别加载和卸载，在整个过程中只需使用一个模型，减小了工作量，提高了工作效率.

在建立材料统一本构模型过程中，为更准确地描述材料受载情况下的内部结构变化，许多研究者引入损伤变量的概念.在损伤模型的研究中，以Voyiadjis和Deliktas［4］的贡献最为突出，他们以上述理论为基础构建了材料的耦合各向异性损伤非弹性模型，Ragueneau和Guatuingt［5］研究了混凝土的损伤模型.国内学者们对材料的本构模型研究也取得了很大的成就，主要有:董毓利、沈新普、张盛东［6］等.

不可逆热力学以内变量变化为基础来表征材料内部结构的变化特征，为材料本构模型的构建提供了理论基础和方法.文中以不可逆热力学为基础，以运动硬化和等向硬化为内变量，构造了Helmholtz自由能函数和势函数，推导了流动方程和内变量演化方程，引入非弹性乘子，以及损伤变量，构建了金属材料含损伤的粘塑性统一本构模型.

1 模型的构建

粘塑性统一本构模型的一般通用框架［7－8］可以写为:

式中Zij为拉应力，Ωij为背应力.在构建粘塑性统一本构方程的过程中，仍然采用B-P［9－10］模型，因此，任意一点的应变率变化都可以用弹性应变和非弹性应变之和来表示.弹性应变是可逆的，而非弹性应变是不可逆的.材料内部任意一点的应变率包括弹性应变率和非弹性应变率两部分.其中，总应变率为，弹性应变率为，非弹性应变率为.在材料发生弹性变形的过程中，应变和应力符合Hook定律:

另外，在材料受载发生非弹性应变时，材料的应力应变关系不再符合虎克定律，此时非弹性应变率可以表示为:

在对金属材料粘弹性研究的过程当中，不可逆热力学为其提供了充分的理论依据，下面围绕着不可逆热力学知识来构造金属材料的统一本构模型.在构造数学模型过程中主要分两步:第一，确定模型中的内变量和外变量;第二，设定材料的Helmholtz自由能函数表达式.这两点是构建统一本构模型的基础.

对于金属材料可以假设其单位质量的Helmholtz自由能函数［11］表达式为:

其中Vk为内变量，T为温度系数.在等温或者绝热条件下Clausius-Duhem不等式为:

由于在等温(˙T=0)或者绝热(▽T=0)的条件下进行，即不考虑温度对材料的影响，则Helmholtz自由能函数可简化为:

式中σij为Cauchy应力张量，ρ为材料密度.将式(1)和(12)代入式(11)可得:由于与和之间是相互独立的，因此，通过上述表达式可以进一步推导出以下本构方程:

则Clausius-Duhem不等式简化为:

式中

其中Ak为热力学力，与状态变量Vk是相关联的.

由Clausius-Duhem的简化形式可以看出:在内变量发生变化时，自由能是耗散的，为了满足式(11)，令势函数为:

则Clausius-Duhem不等式变为:

在上述建立的势函数中，只要势函数是关于σij，Ak是凸函数，以及 ˙λ＞0，则上式成立.因此，可以得到以下本构方程、流动方程和内变量演化方程:

由于金属材料的变形与静水压无关，而且它的非弹性变形过程中不会引起体积的变化，即不会发生体积膨胀等现象，因此，根据上述性质可以设定金属材料变形的势函数Φ和Helmholtz自由能函数ψ分别如下:

其中:

为材料常数，σij'为σij的偏量，Ωij'为Ωij的偏量.

根据Helmholtz自由能函数取Vk={αij，B}，可以得出如下本构方程和演化方程:

由方程(22)和(23)可得:

而由方程(27)、(28)(29)和(30)可得:

在上式中

Helmholtz自由能函数ψ可以分为2个部分，弹性ψe和非弹性ψi，因此，又可以描述为:

可以看出˙λ是关于应力σ、背应力Ω、拉应力Z的一个函数关系式.在以往的统一本构方程中，˙λ的数学表达式主要有以下3种形式［9］:幂函数(Axn)、指数函数(A(ex－1))、双曲正弦函数(Asinh(xm)n)，由于金属材料的变形过程中与静水压无关，所以，选取双曲正弦函数形式构造关于自变量x的一般性表达式:

在经典塑形理论中，g(σij)－Z=0表示的是屈服面方程，文中选Mises为屈服条件，一般表达式为:

根据材料变形屈服面准则，则可以得出D-P模型的函数关系式为:

因而有:

对于金属材料，引入损伤变量d，选择双曲正弦函数表达形式，˙λ具体表达式如下:

其中D0是与温度T相关的函数:

式中

最后，由建立的势函数表达式，分别对应力σij、背应力Ωij、拉应力Z进行求导并代入 ˙λ，就可以依次得到损伤状态下的弹性应变率背应力Ωij、拉应力Z的关系式:

这样基于不可逆热力学构建出了粘塑性统一本构方程.

2 损伤模型的建立

金属材料在加卸载的过程中材料内部都可能存在不同程度的损伤，从而影响材料的性能，因此，为了更好地描述材料性质，需要引入损伤度d这一变量.由Kachanov损伤理论可得有效应力、实际应力σ和损伤度d的关系式:

在上述建立的本构模型中，材料的损伤是等向的，并且可以用标量d来表示:

在此，dc和dt分别表示压缩和拉伸时的损伤，而相应的αc和αt分别为其对应的参量［12］.

单轴拉伸，αc=0，单轴压缩，αt=0，多轴载荷，αc+αt=1.将d带入上面不可逆热力学建立的统一本构模型中就可以得出材料的损伤统一本构模型.

3 数值模拟

将文中所建立的金属材料模型利用数值方法，并结合所给定的参数:E=1.517×105，υ= 0.10，˙ε=8.3×10－5，计算相应的数值结果.反向加载、给定应变率、软化、比例加载应力应变模拟曲线如图1～图4所示.

图1 模型反向加载的应力应变模拟曲线Fig.1 Stress-strain curve of unified constitutive model in reverse loading

从图1中可以看出:材料在加载的过程中，由于蠕变和运动硬化的存在，应力应变模拟曲线出现了尖点，这也就是平时所说的包辛格效应.文中所建立的模型将该效应所产生的曲线过方现象有所改善，在实验曲线中可以看出卸载时的应力应变曲线图的斜率在不断地减小，进而可以得出在此循环加卸载的过程中，材料在不断地损伤，更能体现材料的内部变化特性.

图2 给定应变率下的应力应变模拟曲线Fig.2 Stress-strain curve of unified constitutive del in given loading

图3 软化应力应变曲线Fig.3 Stress-strain curve of unified constitutive model in softening

图4 比例加载应力应变曲线Fig.4 Stress-strain curve of unified constitutive model in proportional loading

图2显示了在给定应变率下的应力应变曲线，反映了材料应变随着应力变化时的特性.图3给出了材料在软化过程中应力应变关系曲线，图4模拟出了比例加载过程中按照1∶1加载的相应应力应变曲线图.图3和图4中可以看出:材料在加卸载过程中出现了跳跃现象，更能反映出材料在变形过程中的内部变化特征.

4 结论

在热力学基础上，以热力学第二定律为准则的前提下构建了金属材料的理论本构模型.应用热力学势函数和Helmholtz自由能函数，引进非弹性乘子以及损伤变量，建立了材料损伤状态下的统一本构模型，并且根据材料的参数模拟出材料变化相对应的曲线，反映出材料内部结构的变化情况，提高了工作和计算效率.

［1］ Miller A.A Unifiled Phenomenological Model for the Monotonic，Cyclic，and Creep Deformation of Strongly Work-hardening Materials［D］.California: Stanford University，1975.

［2］ Miller A K.An Inelastic Constitutive Model for Monotonic，Cyclic，and Creepdeformation［J］.ASME Eng Mat＆Tech，1976，98(4):97－113.

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［5］ Ragueneau F，Gatuingt F.Inelastic Behavior Modeling of Concrete in Low and High Strain Rate Dynamics［J］.Computers and Structures，2003，81 (12):1287－1299.

［6］ 张盛东.混凝土损伤本构关系的研究［D］.哈尔滨:哈尔滨建筑大学，1997:38－44.

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［8］ 刘长春，吕和祥，冯明珲.混凝土材料的粘塑性损伤统一本构模型［J］.工程力学，2008，25(7):100－105.

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［11］沈为.损伤力学［M］.武汉:华中理工大学出版社，1995:20－25.

［12］ Mazars J.A Description of Micro and Macroscale Damage of Concrete Structures［J］.Engineering Fracture Mechanics，1986，25(5/6):729－737.