L－fuzzy层次拓扑空间中的Dα－强分离性

权 婷，马保国

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

分离性是拓扑学的重要内容之一，由于层次结构的存在使得L－fuzzy拓扑空间的分离性比一般拓扑学的分离性要复杂，几乎所有较理想的结果都是在L－fuzzy拓扑空间的层次结构上得到的。目前，大多学者对分离性的研究都是基于文献［1］中所提出的L－fuzzy拓扑空间中分离性而展开的。在文献［2］引入一种层次闭集，即Dα－闭集，而文献［3］又引入一种层次开集即Ir开集，并且定义了L－fuzzy层次拓扑空间和α远域等概念，文献［5］利用这种层次闭集和层次开集讨论了L－fuzzy层次拓扑空间的Dα－分离性。在此基础上，本文在L－fuzzy层次拓扑空间中讨论了Dα－强分离性的概念及其性质，以及与已有的Dα－Ti分离性的关系。

文中未加说明的符号和概念均合于［1－3］。

1 层次拓扑空间

定义1.1［2］设(LX，δ)是 L－fts，α∈M(L). 算子 Dα∶LX→δ'定义为:

∀A ∈ LX，Dα(A)=∧ {G ∈ δ'|G［α］⊃ A［α］}，其中 G［α］={x∈X|G(x)≥α}.

称 A∈LX为(LX，δ)中的 Dα－闭集，若(Dα(A))［α］=A［α］.(LX，δ)中的全体 Dα－闭集，记作Dα(δ).

定理1.1［2］设(LX，δ)是 L－fts，A∈LX，若 A∈δ'，则∀α∈M(L)，A∈Dα(δ). 即 δ'⊂Dα(δ)，Dα(δ)形成X上的一个余拓扑。称(LX，Dα(δ))为 Dα－层次拓扑空间。

定义1.2［3］设(LX，δ)是 L－fts，r∈P(L)，定义算子Ir∶LX→δ为:

其中A(r)={x∈X|A(x)}.称Ir为层次内部算子。

∀A∈LX称为(LX，δ)为中的 Ir－开集，若(Ir(A))(r)=A(r).(LX，δ)中的全体 Ir－开集记作Ir(δ).

定理1.2［3］设(LX，δ)是L－fts，A∈LX. 若 A∈δ，则∀r∈P(L)，A∈Ir(δ)，即δ⊂Ir(δ)，Ir(δ)形成 X上的一个拓扑，称(LX，Ir(δ))为Ir－层次拓扑空间。

Ir－层次拓扑空间和Dα－层次拓扑空间，统称为L－fuzzy层次拓扑空间。

定义1.3［4］设(LX，δ)是 L－fts，A∈LX，x∈X，α∈M(L)，则:

(1)P∈Dα(δ)称为 xα的 α－远域，若 xα∉P，xα的全体α－远域记作ηα(xα);

(2)e∈M*(LX)称为 A的附着点，若∀P∈ηα(e)有 A［α］⊄P.

定义1.4［5］设(LX，Ir(δ))是 Ir－ 层次拓扑空间，若∀e，d∈M*(LX)，当 e≠d 时，存在 P∈ηα(e)，使 d［α］⊂P，则称(LX，Ir(δ))是 Dα－T1的。

若∀e，d∈M*(LX)，当 e∧d=0时，存在 P∈ηα(e)及 Q∈ηα(d)使得 P∪Q=X，称(LX，Ir(δ))是Dα－T2的。

定理1.5［5］设(LX，δ)是由分明拓扑空间(X，τ)拓扑生成的 L－fts，(LX，Ir(δ))是与其相对应的 Ir－层次拓扑空间，则(LX，Ir(δ))是 Dα－ Ti(i=1，2)空间当且仅当(X，τ)是 Ti(i=1，2)。

2 L－fuzzy层次空间中的Dα－强分离性

定义2.1 设(LX，Ir，(δ))是 Ir－ 层次拓扑空间，∀α∈M(L).若对任意的 L－fuzzy点 e、d，存在P∈η(e)，使 d［e］⊂P，则称(LX，Ir(δ))是强 Dα－ T1空间。记为SDα－T1.

显然，SDα－T1是Dα－T1的，反之不成立。

定义2.2 设(LX，Ir，(δ))是 Ir－ 层次拓扑空间，α∈M(L). 如果对任意的L－fuzzy点e、d，当e∧d=0时，有 P∈ηα(e)及 Q∈ηα(d)，使得 P(x)=1或 Q(x)=1 成立，则称(LX，Ir，(δ))为强 Dα－T2空间，记为SDα－T2.

显然SDα－T2是Dα－T2的，反之不成立。

定理2.1 设(LX，Ir，(δ))是 Ir－ 层次拓扑空间，(LX，Ir，(δ))是强 Dα－ T1空间当且仅当对每个L－fuzzy点 e，e［α］是 Dα－闭集。

定理2.2 SDα－T1分离性是Dα－遗传的。即如果(LX，Ir，(δ))是SDα－T1空间，则对X 任一子集Y，子空间(LY，Ir(δ)|Y)也是 SDα－T1空间。

证明 设(LX，Ir(δ))是 SDα－T1空间，e是 LY中的任意L－fuzzy点，则e的扩张e*是(LX，Ir(δ))中的 L－fuzzy点，又(LX，Ir(δ))是 SDα－T1空间，故由定义是(LX，Ir(δ))中的 Dα－闭集，此时 e［α］=是(LY，Ir(δ)|Y)中的 Dα－ 闭集，因此(LY，Ir(δ)|Y)是 SDα－T1空间。

定理2.3 设(LX，Ir(δ))是{(LXt，Ir(δt))}t∈T的乘积空间，如果对∀t∈T，(LXt，Ir(δt))是 SDα－T1空间，那么(LX，Ir(δ))是 SDα－T1空间.

证明 设∀t∈T，(LXt，Ir(δt))是 SDα－ T1空间，e是(LX，Ir(δ))中的任一 L－fuzzy点，显然，e=，∀t∈T，et是(LXt，Ir(δt))中的 L－fuzzy 点，从而(et)［α］是(LXt，Ir(δt))的 Dα－闭集，因此 e［α］=是(LX，Ir(δ))中的 Dα－闭集，所以(LX，Ir(δ))是 SDα－T1空间。

此定理说明了SDα－T1具有可乘性。

同理可得SDα－T2空间也有以下性质。

定理2.4 设(LX，Ir(δ))是 SDα－T2空间，则对X的任意子集Y，子空间(LX，Ir(δ)|Y)也是 SDα－T2空间。

证明 设(LX，Ir(δ))是 SDα－ T2空间，e，d 是(LY，Ir(δ)|Y)中的任意两个 L－fuzzy点，且 e∧d=0Y，此时e*∧d*=0X.于是，存在 P∈ηα(e*)及 Q∈ηα(d*)，使 P=1X，Q∈1X. 这时 P|Y与 Q|Y分别是 e，d 在(LY，Ir(δ)|Y)中的远域，且∀z∈Y，(P|Y)=1X|Y=1|Y或者(Q|Y)=1X|Y=1|Y，因此子空间(LY，Ir(δ)|Y)是 SDα－T2空间。

定理2.5 设(LX，Ir(δ))是{(LXt，Ir(δt))}t∈T的乘积空间，如果对∀t∈T，(LXt，Ir(δt))是 SDα－T2空间，则(LX，Ir(δ))是 SDα－T2空间。

证明 设∀t∈T，(LXt，Ir(δt))是 SDα－ T2空间，e，d 是(LX，Ir(δ))中的任一 L－fuzzy点，且 e∧d=0，设∀e={et}t∈T，d={dt}t∈T，则有 m∈T，使 em∧dm=0，此时em，dm是Xm上的任意L－fuzzy点，因为(LXt，Ir(δt))是 SDα－T2空间，故存在 Dα－闭集Bm∈η(em)，Cm∈ηα(dm)，且对∀xm∈Xm，Bm(xm)=1Xm或Cm(xm)=1Xm.

设Pm∶X→Xm是投影射影，令B=Pm－1(Bm)，C=(Cm)，则 B=Pm－1(Bm)，C=(Cm)是(LX，Ir(δ))中的 Dα－闭集.

设 x={xt}t∈T是(LX，Ir(δ))中的任意一 L－fuzzy点，并且Pm－1(Bm)(x)=Bm，Pm(x)=Bm(xm)=1X，(Cm)(x)=Cm，Pm(x)=Cm(xm)=1X，所以(LX，Ir(δ))是 SDα－T2空间。

定理2.6 SDα－T2是弱同胚不变性质。

证明 令 f∶(LX，Ir(δ))→(LY，Ir(σ))是连续的一一的满的Zedeh型函数且(LX，Ir(δ))是SDα－T2空间。设y1，y2是(LY，Ir(σ))中任意二个 L－fuzzy 点，且 y1∧y2=0Y，则存在(LY，Ir(δ))中的 L－fuzzy 点 x1、x2，使 f(x1)=y1，f(x2)=y2且 x1∧x2=0X. 由于(LX，Ir(δ))是SDα－T2空间，所以存在 P∈ηα(x1)，Q∈ηα(x2)使 P=1X或 Q=1X. 令 E=f(P)，F=f(Q)，由f是一一的连续的映射知f(P)∈ηα(y1)，f(Q)∈ηα(y2)，并且 E=1Y或 F=1Y. 因此SDα－T2性质是弱同胚不变性质。

此定理也就是说当 f∶(LX，Ir(δ))→(LY，Ir(σ))是连续的一一的满的L值Zadeh型函数，若(LX，Ir(δ))是 SDα－ T2空间，则(LY，Ir(σ))也是SDα－T2也是空间。

定理2.7 设(LX，δ)是由分明拓扑空间(X，τ)拓扑生成的 L－fts，(LX，Ir(δ))是与其相对应的 Ir－层次拓扑空间，则(LX，Ir(δ))是 SDα－ Ti(i=1，2)空间当且仅当(X，τ)是 Ti(i=1，2)空间。

证明 仅证明i=2时的情形.

必要性，因为SDα－T2是Dα－T2的，又由文献［5］定理14直接得出结论成立。

下证充分性。设(X，τ)是 T2空间，且 x，y是 X中的两个不同点，取开集U，V∈τ使x∈U，y∈V且U∩V=Ø，令 P=(Dα(X'U))［α］，Q=(Dα(X'v))［α］，则由x∉U＇，y∉V＇知 P与 Q 分别是 x与 y的 α －远域且P∪Q=X，因为P与Q都是分明集，所以P(x)=1或 Q(x)=1.所以(LX，Ir(δ))是 SDα－T2空间。

［1］王国俊.拓扑空间论［M］.西安:陕西师范大学出版社，1988.

［2］孟广武，孟晗.Dα－闭集及其应用［J］.模糊系统与数学，2003，17(1);2427.

［3］李令强，金秋.Ir－开集及其应用［J］.模糊系统与数学，2005，19(3);9295.

［4］孙守斌，孟广武，赵峰.序同态的Dα－连续性［J］.山东大学学报(理学版)，2007，42(7);4953.

［5］孙守斌，孟广武.L－fuzzy层次拓扑空间中Dα－的分离性［J］.内蒙古师范大学自然学报(自然科学汉文版)，2008，37(2);173175.