例析数列知识在动量类问题中的应用*①

2012-01-23叶玉琴

物理通报 2012年2期

叶玉琴

(安庆市第二中学安徽安庆 246000)

1 等差数列与动量守恒定律的结合应用

【例1】如图1，一块足够长的木板，放在光滑水平面上；在木板上自左向右依次放有序号是1,2,3,…，n个木块，所有木块的质量均相同，与板间的动摩擦因数也相同.开始时木板静止不动，第1,2,3,…，n个木块的初速度分别为v0,2v0,3v0,…，nv0，方向均向右，并同时开始运动，木板质量等于所有木块的总质量，最终所有木块与木板以共同速度匀速前进，设物块间均无碰撞，试求：

(1)所有木块与木板的共同速度;

(2)第k(k

解析:(1)木块和木板之间相互作用的过程中，系统水平方向不受外力作用，满足动量守恒定律，设所有木块与木板最终的共同速度为v′，则有

mv0+m2v0+…+mnv0=(nm+nm)v′

即

mv0(1+2+…+n)=2nmv′

利用等差数列求和公式，则

所以

图1

(2)第k(k

(km+nm)vk+m(v0+vk)+m(2v0+vk)+…+

m[(n-k)v0+vk]=mv0+m2v0+…+mnv0

整理得

2nmvk+mv0[1+2+…+(n-k)]=

mv0(1+2+…+n)

对等式两边应用等差数列求和公式,得

解得第k号(k

2 等比数列与动量定理的结合应用

【例2】(2008年高考四川卷)如图2,一倾角为θ=45°的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度h0=1 m，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板.在斜面顶端自由释放一质量m=0.09 kg的小物块(视为质点);小物块与斜面之间的动摩擦因数μ=0.2.当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回.重力加速度g=10 m/s2.在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？

图2

解析：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v.由功能关系得

(1)

以沿斜面向上为正方向，根据动量定理可得碰撞过程中挡板给小物块的冲量

I=mv-m(-v)

(2)

设碰撞后小物块沿斜面上升所能达到的最大高度为h′，则

(3)

小物块再次到达斜面底端时的速度为v′，碰撞过程挡板给小物块的冲量为I′，同理有

(4)

I′=mv′-m(-v′)

(5)

由式(1)～(5)得

可知，小物块前4次与挡板碰撞受到的冲量成等比级数，公比为

首项为

所以前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量为

I=I1+I2+I3+I4=I1(1+k+k2+k3)=

代入数据得

3 等比数列与动量守恒定律的结合应用

【例3】(2004年高考江苏卷) 一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上;一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上.狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后又反复地跳下、追赶并跳上雪橇.狗与雪橇始终沿一条直线运动.若狗跳离雪橇时雪橇的速度为v，则此时狗相对于地面的速度为v+u(其中u为狗相对于雪橇的速度，v+u为矢量和，若以雪橇运动的方向为正方向，则v为正值，u为负值).设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计.已知v的大小为5 m/s，u的大小为4 m/s，M=30 kg，m=10 kg.求：

(1)狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度；

(2)雪橇的最终速度和狗最多能跳上雪橇的次数.

(供使用但不一定用到的对数值：lg2=0.301，lg3=0.477)

解析：本题的第2问，是一个比较有难度的数列问题.设雪橇运动的方向为正方向，狗第1次、第2次……第n次跳下雪橇后雪橇的速度分别为v1，v2，…，vn，对应狗的速度分别为(v1+u)，(v2+u)，…，(vn+u)，由动量守恒定律得

Mv1+m(v1+u)=0

同理,第2次狗跳离雪橇后，有Mv1+mv=Mv2+m(v2+u)，则

第3次狗跳离雪橇后，有Mv2+mv=Mv3+m(v3+u)，则

第n次狗跳离雪橇后，有

若狗追不上雪橇，则vn≥v，化简整理得

两边取对数后便可求出n≥3.41，所以狗最多能跳上雪橇3次，将n=4代入vn的表达式，便可求出雪橇的最终速度为5.625 m/s.