无限级Dirichlet级数的值分布

南 华

（延边大学理学院 数学系，吉林 延吉133002）

无限级Dirichlet级数的值分布

南 华

（延边大学理学院 数学系，吉林 延吉133002）

研究了无限级Dirichlet级数的增长性质和值分布特征.在较宽的系数条件，即在和函数f（z）与Dirichlet级数的部分和之差的模满足一定限制条件下，给出了Dirichlet级数所定义的整函数的级的估计，并给出了无限级Dirichlet级数Borel方向存在的宽度的估计.

Dirichlet级数；Borel方向；级；值分布

0 引言

整函数和亚纯函数的值分布理论的相关研究已取得了许多成果［1－3］.Dirichlet级数所定义的整函数的值分布是值分布理论中的重要部分.形如

其中｛an｝为1列复数，0＝λ0＜λ1＜λ2＜ …＜λn↑＋∞的级数称为Dirichlet级数.文献［4］的作者在｛λn｝满足

更弱的条件（和函数f（z）与Dirichlet级数的部分和之差的模满足一定限制条件）下研究了Dirichlet级数（1）的增长性质，得到下面的结果：

定理1［5］级数（1）的｛λn｝满足条件（2）.α，A为正实数，x0为实数，存在定义在［0，＋∞）上的连续函数v（x），xv（x）为增的，并且

和函数f（z）满足

若对于v（x）和｛λn｝下列条件之一成立：①对于任意的－v（x）＞ε（lny－lnx）－A（y＞x＞1）；˙k（0）＞－∞，并且有.这里S（t）.则对于宽度大于πL的任何带形B有：①ρB＝ρ；②如果，那么τB＝τ.

本文在比文献［4］中给出的条件相对弱的条件下，利用Dirichlet级数（1）的增长性质研究具有无限级的Dirichlet级数（1）的值分布特征.

1 引理及其证明

为研究级数（1）所定义的整函数的值分布，须讨论角域中解析函数的Borel方向.设g（z）在角域中全纯，g（z）在角域Δ中有级ρ是指其中

引理1［6］设h（z）在单位圆盘｝内全纯，那么有：

令函数g（z）在角域中解析，

引理2［7］设函数g（z）在上述的Δ中全纯，记那么有：

引理3［4］，其中cη∈C是与η有关的常数，且当r充分大时

利用上面的引理可得出关于角域中解析函数的Borel方向的如下结果：

引理4 设g（z）在中全纯，且在Δ及Δ0中具有无限级ρ＝∞则在Δ0中g（z）有1条无限级的Borel方向即对于任意的a∈C至多有1个例外值，对于任意的ε＞0有其中n（r，θ0，ε，g＝a）表示函数g（z）在集中取值为a的点的个数.

由此可知，当k＜∞时，积分发散.否则，对于任意的ε＞0，存在r＞0使得.这与（5）式相矛盾.因积在k＜ρ时发散，所以再由引理2中的2）可得

把Δ2η平分成顶点在原点的2个角形，对于其中1个角形ρ）.再把角形Δ（1）平分成2个角形，对于其中1个角形Δ（2.依次类推，可得1个顶点在原点的角形套｛Δ（n）｝，对于其中任意1个且所有的Δ（n）有1个公共射线对于任意的ε＞0，Δ（n）⊆Δ（n）＊

，其中Δ（n）＊是与Δ（n）有相同顶点及顶角平分线的角形，并且Δ（n）＊的顶角是Δ（n）的顶角的2倍.对Δ（n）及Δ（n）＊上的函数g（z）应用引理2的结论1）可知，对于任意的a∈C，至多有1个例外值因此

由（6）式导出：对于任意的a∈C至多有1个例外值；否则会得到与（6）式相矛盾的结果.于是因此Bη是g（z）在Δ0中的1条无限级的Borel方向.证毕.

2 定理及其证明

定理2 Direchlet级数（1）满足条件（2），存在定义在［0，＋∞）上的连续函数v（x），xv（x）为增的，且满足式（3），这个级数定义的整函数f（z）有无限级ρ＝＋∞且满足式（4），且定理1中的条件①或者②对于v（x）和｛λn｝成立，那么在宽度为2πL的任何水平闭带形中，函数f（z）一定有1条无限级的水平Borel方向.

证明 对于任意的z0∈C，任取l＞L，考虑带形.由定理1可知，ρB这里.做保形映射它把B映成Δ0，把f（z）映成Δ上的全纯函数F（z）＝f（φ－1（z））.又有M（x，f，从 而于是由引理4可知，F（z）在Δ0中有1条从原点出发的无限级的Borel方向.再做映射z＝φ－1（w），则f（z）在B中必有1条无限级的水平Borel线.因为对任何的l＞L，以上证明成立，因此在宽度为2πL的任何水平闭带形B＝｛z＝x＋iy∶中，函数f（z）一定有1条无限级的水平Borel方向，证毕.

［1］南华.具有指定Julia方向的有限级整函数［J］.延边大学学报：自然科学版，2011，37（3）：223－225.

［2］南华.超越整函数的正规族 ｛f（2nz）｝［J］.延边大学学报：自然科学版，2010，36（2）：109－113.

［3］孙道椿，陈特为.无限级 Dirichlet级数［J］.数学学报，2001，44（2）：259－268.

［4］余家荣.Dirichlet级数与随机Dirichlet级数的值分布［M］.武汉：武汉大学出版社，2004：16－79.

［5］杨向东，邓冠铁.关于Dirichlet级数的增长性质与值分布［J］.北京师范大学学报：自然科学版，2006，42（1）：1－7.

［6］Nevalinna R.Le theoreme de Picard－Borel et la theorie des fonctions meromorphes［M］.Paris：Gauthier－Villdos，1929.

［7］Tsuji M.Potential theory in modern function theory［M］.Tokyo：Maruzen，1959：232－342.

The value distribution of Dirichlet series of infinite order

NAN Hua
（DepartmentofMathematics，CollegeofScience，YanbianUniversity，Yanji133002，China）

The value distribution of Dirichlet series of infinite order are studied.Some improvements on the growth and value distribution of Dirichlet series are obtained.For analytic functions represented by Dirichlet series of infinite order，under certain restrictive conditions，their orders and the width of strip regions in which Borel directions exist are estimated.

Dirichlet series；Borel direction；order；value distribution

O174.5

A

1004－4353（2012）03－0183－04

20120712

延边大学科研项目（延大科合字［2010］第002号）

南华（1972—），女，博士，副教授，研究方向为复变函数.