基于量子力学的相互作用绘景构造非线性哈密顿系统的数值计算方法

张素英

（山西大学 理论物理研究所，山西 太原 030006）

基于量子力学的相互作用绘景构造非线性哈密顿系统的数值计算方法

张素英

（山西大学 理论物理研究所，山西 太原 030006）

文章在量子力学的相互作用绘景中给出了非线性哈密顿系统离散格式的构造方法.首先将原非线性哈密顿问题变换至相互作用绘景，导出一个含时的常微分方程系统，离散该常微分方程并变换回原系统的态矢即可得到原问题的离散格式.基于不同的常微分方程数值方法，可得到原系统不同的离散格式.该方法还可以有效地求解多组分的Bose-Einstein凝聚态物理问题.

偏微分方程;非线性哈密顿系统;Bose-Einstein凝聚体

量子力学中，有三种典型的绘景——薛定谔绘景、海森堡绘景和相互作用绘景［1－2］，这三种绘景在处理实际问题时各有其特点.其中相互作用绘景是一个普适的表述，在特定条件下可以导出薛定谔绘景和海森堡绘景，特别是在确定态矢随时间的动力学演化时该绘景起着十分重要的作用.考虑到相互作用绘景的实用性，本文讨论该绘景下态矢离散格式的构造问题，以便为处理有关的问题提供有效的数值计算方法.

1 量子力学的相互作用绘景

为简单起见，考虑只有一个空间变量的非线性哈密顿系统：

2 数值方法

常用的求解非线性哈密顿系统问题（1）的数值方法主要有算子劈裂方法和快速Fourier变换方法（FFT方法）及其组合［3－4］.本文将基于方程（3）来构造原哈密顿系统的数值计算方法.将方程（1）中关于空间变量的二阶导数采用中心差商进行离散，则哈密顿算子H0表现为一个三对角的方阵.通常记

3 多组分非线性哈密顿系统的数值计算方法

4 算例

讨论环形域内两组分的非线性薛定谔方程组（19），取g11＝g22＝－g12＝－g21＝－1，这样的方程组是不可积的［8－9］.由于各组分自身具有相互吸引的性质，而两组分间具有相互排斥的性质，这时不同组分的孤子是非相干的，且具有排斥作用，孤子间的碰撞就像弹性球的碰撞.我们选取等间距的脉冲组成的N孤子链作为初始态：

图1 红色表示｜φ1（x，t）｜2，蓝色表示｜φ2（x，t）｜2（a）运动的孤子与静止孤子的碰撞 （b）动量在八个孤子组成的环里逐次传递Fig.1 ｜φ1（x，t）｜2（red）and｜φ2（x，t）｜2（blue）.（a）Collision of two solitons（N＝1），（b）Multisoliton collisions in a ring with N＝4

图2 （a）最左边孤子具有初速度，孤子链的运动情况，（b）左边两孤子与右边两孤子具有相反的初速度时，孤子链的运动情况，（c）五个孤子都具有相同方向的初速度，孤子链的运动情况Fig.2 The Newton’s cradle built of five solitons，｜φ1（x，t）｜2（red）and｜φ2（x，t）｜2（blue）.Different oscillation modes are excited by imparting the initial velocity，of size 0.2，to（a）the top-left soliton;（b）two ultimate solitons on both sides，with opposite velocities，and（c）all solitons

5 结论

本文基于量子力学的相互作用绘景研究了非线性哈密顿系统离散格式的构造方法.将原非线性哈密顿问题变换至相互作用绘景，可导出一个含时的常微分方程系统，经典的常微分方程数值解法均可用于构造这类非线性哈密顿系统的离散格式.文中需要计算指数算子u（τ）及u（），但它们只需要计算一次，与常用

00的FFT方法及算子劈裂方法相比，本文的构造思想更有利于构造高阶方法，且相对减少了计算量.与经典的Runge-Kutta方法相比，虽然其计算精度与Runge-Kutta方法相同，但由于引入算子u0（τ）该方法具有很好的数值稳定性，适用于长时间迭代.该方法还可以有效地求解多组分的Bose-Einstein凝聚态物理问题.

［1］曾谨言.量子力学［M］.北京：科学出版社，1981.

［2］喀兴林.高等量子力学［M］.北京：高等教育出版社，2001：159-179.

［3］Bader P，Blanes S.Fourier Methods for the Perturbed Harmonic Oscillator in Linear and Nonlinear Schrodinger Equations［J］.PhysicalReviewE，2011，83：046711.

［4］Hult J.Interaction Picture Method for Simulating Supercontinuum Generation in Optical Fibers［J］.JournalofLightwave Technology，2007，25（12）：3770-3775.

［5］冯康，秦孟兆.哈密尔顿系统的辛几何算法［M］.杭州：浙江科学技术出版社，2003：191-194.

［6］Zhong W X.Time Precise Integration Method for Structural Dynamical Equations［J］.JournalofDalianUniversityof Technology，1994，34（2）：131-136.

［7］Zhang S Y，Deng Z C.An Improved Precise Integration Method for Nonlinear Dynamic System［J］.MechanicsResearch Communication，2003，30（1）：33-38.

［8］Gupta S，Murch K W，Moore K L，etal.Bose-Einstein Condensation in a Circular Waveguide［J］.PhysicalReviewLetter，2005，95：143201.

［9］Ryu C，Andersen M F，Clade P，etal.Observation of Persistent Flow of a Bose-Einstein Condensate in a Toroidal Trap［J］.PhysicalReviewLetter，2007，99：260401.

Construction of Numerical Methods of Nonlinear Hamiltonian Systems Based on Interaction Picture of Quantum Mechanics

ZHANG Su-ying
（InstituteofTheoreticalPhysics，ShanxiUniversity，Taiyuan030006，China）

Numerical methods of nonlinear Hamiltonian systems are constructed in the interaction picture of quantum mechanics.Firstly the original system is transformed to interaction picture of quantum mechanics.This reduces the problem to a system of ordinary differential equations in time.Subsequently，the modified system is integrated in time and then transformed back to the initial representation of the state vector.Varies discrete schemes can be obtained based on different integration methods.The methods in this paper can also be used to solve multi-component Bose-Einstein condensate problem.

partial differential equation;nonlinear Hamiltonian system;Bose-Einstein condensation

O469

A

0253-2395（2012）02-0271-05＊

2012-03- 10;

2012-03-26

国家自然科学基金（10972125）;高等学校博士学科点专项科研基金（20111401110004）;山西省自然科学基金（2010011001-2）;山西省留学回国人员科研基金

张素英（1967－），女，山西昔阳人，博士，教授，主要从事计算物理方面的研究.