多源热模型与高能质子－质子对撞中喷注的能谱和碎裂函数

刘福虎，冯金明

（山西大学 理论物理研究所，山西 太原 031006）

多源热模型与高能质子－质子对撞中喷注的能谱和碎裂函数

刘福虎，冯金明

（山西大学 理论物理研究所，山西 太原 031006）

评述了笔者和合作者以前提出和发展的多源热模型（或称多源理想气体模型），阐述了该模型的基本图像，针对几种物理量的分布规律讨论了发射源的空间分布.在此基础上，用该模型得到的多组分厄兰（Erlang）分布分析了高能质子－质子对撞中形成的喷注的能谱和碎裂函数，模型计算结果与相对论性重离子对撞机上质心系能量为200 GeV的质子－质子对撞的实验结果近似符合，表明高能质子－质子对撞中形成的喷注的能谱和碎裂函数服从组分数为1或2的多组分厄兰分布.

多源热模型（或多源理想气体模型）;高能质子质子对撞;喷注的能谱和碎裂函数;多组分厄兰分布

0 引言

高能粒子和离子（或核）与固定靶碰撞，或粒子－粒子、粒子－离子（或核）、离子（或核）-离子（或核）对撞是现阶段粒子物理与原子核物理学科重要的前沿研究领域.所谓粒子，包括质子（p）、π介子、K介子等强子，电子（e）、μ子等轻子，光子（γ）等媒介子.所谓离子，指的是原子的核外电子被部分或全部剥离后的剩余物.如果一个原子的核外电子被全部剥离，则该离子即是原子核（或核）.如果一个离子含有比较多的质子和中子，则通常称该离子为重离子.

美国布鲁克海汶（Brookhaven）国家实验室（BNL）于2000年成功运行了相对论性重离子对撞机（RHIC），实现了金－金对撞［1］，从此开辟了重离子对撞研究的新时代.人们之所以对重离子对撞研究感兴趣，是因为在重离子对撞中可以形成量子色动力学（QCD）理论预言的夸克－胶子等离子体（QGP）或夸克物质.同时，因为重离子比粒子的尺寸大许多，核效应会影响实验结果，所以在重离子对撞中可以看到在粒子对撞中不曾看到的新现象和新规律.

作为重离子对撞研究的基础和参照，质子－质子对撞研究是必要的.因为在重离子对撞中，基元对撞过程即是质子（中子）-质子（中子）对撞过程，所以RHIC在实现了重离子对撞后，又反过来进行了质子－质子对撞实验［2］.虽然在此前已有其他的质子－质子或质子－反质子对撞实验［3］，但对撞能量不同.2009年，位于瑞士日内瓦的欧洲原子核研究组织（即欧洲粒子物理实验室）（CERN）的大型强子对撞机（LHC）成功进行了质子－质子对撞的实验运行［4］，2010年，铅－铅对撞的实验运行首次在LHC上成功进行.

为了描述高能碰撞（对撞）过程及其得到的实验数据，人们提出了许多模型，限于篇幅，这里不一一列举.可以指出的是，在CERN理论研究所于2008年召开的一次研讨会上，多数模型给出了它们对LHC上可能的实验结果的理论预言［5］.这些模型可以分为动力学模型和热与统计模型两大类，前者侧重于研究碰撞过程本身和单个粒子的动力学行为，后者侧重于研究碰撞末态粒子的集体或整体统计行为.

常见的高能碰撞的末态产物有相对论性粒子、射弹核碎片、靶核碎片等.在过去10余年间，笔者和合作者曾提出了描述相对论性粒子快度（或赝快度）分布的热化柱模型［6－7］和热化双柱模型［8－9］，描述射弹核碎片电荷、发射角和横动量分布的双源模型［10］，描述靶核碎片角分布的多源理想气体模型［11－12］.最近的研究表明，热化柱模型、热化双柱模型、双源模型都可纳入多源理想气体模型（或多源热模型）的框架内，并且可以应用多源热模型解释更多的实验数据.

在用多源热模型研究末态相对论性粒子的多重数分布时，可以得到多组分厄兰（Erlang）分布［13］.进一步的研究表明，核碎片的多重数分布［14］，核碎片同位素中的中子数分布［15］，核碎片的能谱［16］，相对论性粒子的横动量和横质量谱等［17］，也可用多组分厄兰分布进行描述.在本文中，在评述多源热模型的基本图像的基础上，笔者试图用多组分厄兰分布对高能质子－质子对撞中形成的喷注的能谱和碎裂函数进行描述，以其扩大多源热模型的应用范围.

1 多源热模型的基本图像

本文所用的模型叫多源热模型，该模型是笔者和合作者近年来提出的一种简单模型［11－12］.在核－核碰撞中，多源热模型的基础是反应体－旁观体模型［18］，后者认为，入射的射弹核与固定的靶核在碰撞时，相互瞄准的部分因直接参加强烈碰撞称为反应体，反应体以外的不直接参加强烈碰撞的部分分别称为射弹核旁观体和靶核旁观体［18］.

可以认为，在高能碰撞中形成了多个产生粒子和核碎片的发射源（在粒子－粒子碰撞中没有核碎片发射源），源与源之间由于力学和电磁学效应存在相互作用.在发射源静止系，可将其看成经典理想气体、相对论性量子理想气体或非理想气体.由于源与源之间的相互作用，导致粒子在发射源静止系中的动量与在实验室系测得的动量之间存在差异，在这两种参照系中的动量之间可由洛伦兹变换进行联系，或将洛伦兹变换的平均效果简单考虑为两种参照系中动量之间的线性关联.

在研究末态产物的椭圆流、方位角、空间角等分布时，通常无需考虑多个发射源之间的相对位置，只需考虑从发射源静止系到实验室系末态产物动量的变换关系即可.如果将两种参照系中动量之间的变换关系简单考虑为线性关联，则可将源与源之间的相互作用导致的源的膨胀和移动现象简单描述出来，从而可以认识发射源在横动量空间的结构特征［19］.源的膨胀系数和移动系数与碰撞参数有关，而碰撞参数与参加者核子数有关，这样，椭圆流与参加者核子数的关联就建立起来了［20］.

在研究末态粒子的快度（或赝快度）分布时，可认为在快度空间中具有相同快度的发射源形成了一个横向的发射面，具有不同快度的发射面构成了一个热化柱.在能量不太高时，射弹柱和靶柱完全重叠在一起，随着能量的升高，两柱部分重叠，甚至完全分离［21］.来自射弹核和靶核的领头粒子，分别位于射弹核和靶核领头粒子区，一般在射弹核和靶核快度附近.在不区分快度和赝快度时，可得到一个近似公式统一描述快度和赝快度分布;在区分快度和赝快度时，可引入温度参数，应用蒙特卡罗方法进行数值计算得到快度和赝快度分布.

在研究末态粒子的横动量分布时，可认为在横动量空间中具有相同激发程度的发射源形成了一个横向的发射环，具有相同激发程度的发射环形成了一个纵向的发射柱面.位于中心轴附近的发射柱面激发程度高，远离中心轴的发射柱面激发程度低，多个发射柱面构成了发射柱面系列.具有不同反应机制的软过程和硬过程对应不同的发射柱面系列［22］.从中心轴到远离中心轴的区域，可假设温度或横动量分布宽度随半径按不同的规律变化.

在研究末态粒子和核碎片的多重数分布时，可根据反应机制和事例样本将发射源分为若干类，每类发射源含有数目不等的发射源.在同一类发射源中，每个发射源均贡献一个参数相同的指数形式的多重数分布，而最终的多重数分布是一个多组分厄兰分布［13－14］.用多组分厄兰分布还可描述末态核碎片同位素中的中子数分布［15］，末态粒子的横动量（或横质量）分布［17］，核碎片的能谱等［16］.

2 多组分厄兰分布

在多源热模型的框架内，可以得到多组分厄兰分布.虽然在笔者和合作者以前的工作中［13－14］，可以找到针对末态粒子和核碎片多重数的、有关多组分厄兰分布的描述，但为了本文的完整性，下面进行更一般性的介绍.

先不考虑具体的自变量.根据多源热模型，可假设某个自变量x的归一化的分布p（x）由多个发射源贡献.根据发射源的种类或事例样本，可将发射源分成l组.在第j组，有mj个源.对第j组中的第i个源而言，其对末态分布的贡献可假设为一个自变量为xij、参数为〈xij〉的指数分布：

3 与实验结果的比较

图1 ＝200 GeV的p＋p对撞中领头喷柱的能谱.符号是STAR合作组在不同R范围内测得的实验结果［24］，曲线是笔者基于多组分厄兰分布的计算结果.Fig.1 Energy spectra of leading jets in p＋p collisions at200 Ge V.The symbols represent the experimental data measured by the STAR Collaboration in different R regions［24］.The curves are our calculated results according to the multi-component Erlang distribution.

表1 对应各条曲线的参数值及值Table 1 Values of parameters andcorresponding to the curves

表1 对应各条曲线的参数值及值Table 1 Values of parameters andcorresponding to the curves

图号曲线类型 〈xi1〉 m1k1 〈xi2〉 m2χ2 dof图1 R＝0.4 2.500 8 0.160 1.200 13 0.643 R＝0.7 2.500 8 0.165 1.100 13 0.368图2（Ejet单位：GeV）＝0.5 2.500 8 0.160 1.150 13 0.305 R 20＜Ejet＜30，R＜0.4 0.580 5 0.800 0.260 11 1.677 20＜Ejet＜30，R＜0.7 0.480 6 0.650 0.200 19 2.403 30＜Ejet＜40，R＜0.4 0.520 5 0.625 0.380 9 0.737 30＜Ejet＜40，R＜0.7 0.600 5 0.560 0.310 13 0.479 40＜Ejet＜50，R＜0.4 0.620 4 0.500 0.265 13 0.738 40＜Ejet＜50，R＜0.7 0.850 4 0.650 0.315 12 1.109图3（Ejet单位：GeV）10＜Ejet＜15，charged 0.320 8 1.000 － － 1.640 10＜Ejet＜15，K0 0.250 7 0.450 0.056 34 1.360 10＜Ejet＜15，Λ S 0.220 9 0.600 0.040 52 1.758 15＜Ejet＜20，charged 0.473 6 1.000 － － 0.686 15＜Ejet＜20，K0S 0.130 15 0.700 0.034 69 1.269 20＜Ejet＜50，charg 0.100 15 0.400 0.087 25 1.542 15＜Ejet＜20，Λ ed 0.473 6 1.000 － － 1.107 20＜Ejet＜50，K0S 0.125 18 0.780 0.040 66 0.940图4（pT，jet单位：GeV／c）0.100 17 0.500 0.088 28 1.269 20＜Ejet＜50，Λ JP，20＜pT，jet＜30，cone 0.300 8 0.500 0.180 21 0.755

续表1 对应各条曲线的参数值及值fContinue Table 1 Values of parameters andcorresponding to the curves

续表1 对应各条曲线的参数值及值fContinue Table 1 Values of parameters andcorresponding to the curves

图号曲线类型 〈xi1〉 m1k1 〈xi2〉 m2χ2 dof JP，20＜pT，jet＜30，k T 0.310 8 0.500 0.181 21 0.847 JP，20＜pT，jet＜30，anti-k T 0.300 8 0.500 0.179 21 0.653 JP，20＜pT，jet＜30，SIS cone 0.308 8 0.500 0.177 21 0.953 JP，pT，jet＞40，cone 0.560 5 0.500 0.255 16 1.925 JP，pT，jet＞40，k T 0.485 6 0.500 0.263 16 2.602 JP，pT，jet＞40，anti-k T 0.485 6 0.500 0.255 16 1.877 JP，pT，jet＞40，SIS cone 0.565 5 0.500 0.253 16 1.472 HT，20＜pT，jet＜30，k T 0.570 5 0.500 0.250 15 1.422 HT，pT，jet＞40，k T 0.550 5 0.500 0.270 16 1.388

接下来比较喷柱的碎裂函数.图2给出了■s＝200 Ge V的p＋p对撞中，不同Ejet和R范围内，领头喷柱的ξ分布.图中符号是STAR合作组的实验结果［24］，曲线是笔者基于多组分厄兰分布的计算结果.所用的参数值和相应的值见表1.可以看出，RHIC能区p＋p对撞中产生的领头喷柱的ξ分布，近似符合组分数为2的多组分厄兰分布.

图2 ＝200 GeV的p＋p对撞中领头喷柱的碎裂函数.符号是STAR合作组针对不同Ejet和R范围测得的实验结果［24］，曲线是笔者基于多组分厄兰分布的计算结果Fig.2 Fragmentation function of leading jets in p＋p collisions at＝200 GeV.The symbols represent the experimental data measured by the STAR Collaboration in different Ejet and R regions［24］.The curves are our calculated results according to the multi-component Erlang distribution

在■s＝200 Ge V的p＋p对撞中，对应R＜0.4、不同Ejet范围和不同种类粒子，喷柱的ξ分布在图3给出.图中符号是STAR合作组的实验结果［25］，曲线是笔者基于多组分厄兰分布的计算结果.所用的参数值和相应的值见表1.可以看出，RHIC能区p＋p对撞中产生的喷柱的ξ分布，符合组分数为1或2的多组分厄兰分布.

图3 ＝200 GeV的p＋p对撞中喷柱的碎裂函数.符号是STAR合作组在R＜0.4范围内，针对不同Ejet范围和不同种类粒子测得的实验结果［25］，曲线是笔者基于多组分厄兰分布的计算结果Fig.3 Fragmentation function of jets in p＋p collisions at＝200 Ge V.The symbols represent the experimental data measured by the STAR Collaboration in R＜0.4 and different Ejet regions for different kinds of particles［25］.The curves are our calculated results according to the multi-component Erlang distribution

图4（P268）给出了■s＝200 GeV的p＋p对撞中，对应不同横动量范围和其他判选条件的喷柱的ξ分布.图中JP表示喷柱碎片触发，HT表示“高塔”触发，cone表示对某个粒子而言限定阈能而对其他粒子来说限定R范围的一种运算，SIS cone表示对所有粒子限定阈能的一种运算，kT表示起始于低横动量粒子的一种运算，anti-kT表示起始于高横动量粒子的一种运算，这些判选条件都是实验上为了更好地挑选喷柱事例而设置的条条框框［26－31］.图中符号是STAR合作组的实验结果［26］，曲线是笔者基于多组分厄兰分布的计算结果.所用的参数值和相应的值见表1.可以看出，RHIC能区p＋p对撞中产生的喷柱的ξ分布，近似符合组分数为2的多组分厄兰分布.

图4 ＝200 GeV的p＋p对撞中喷柱的碎裂函数.符号是STAR合作组针对不同横动量范围和判选条件测得的实验结果［26］，曲线是笔者基于多组分厄兰分布的计算结果Fig.4 Fragmentation function of jets in p＋p collisions at＝200 Ge V.The symbols represent the experimental data measured by the STAR Collaboration in different transverse momentum regions and selected conditions［26］.The curves are our calculated results according to the multi-component Erlang distribution

4 结论

多源热模型是笔者和合作者近年来发展的一种简单模型，它具有图像清晰、计算简便以及容易与实验测量量联系起来的优点.笔者和合作者以前的工作表明，多源热模型在描述末态粒子和核碎片的快度（赝快度）、多重数、能量、动量、横动量、椭圆流、方位角、空间角等实验测量量的分布方面是成功的，由此可以了解反应系统的纵向扩展程度和横向激发程度以及末态粒子和核碎片的多源发射图像.

本文的结果表明，多源热模型在描述喷柱的能谱和碎裂函数方面也是成功的.我们期待着用该模型描述更多的实验测量量，深入分析相关的物理原因，并研究该模型与动力学模型的更多联系，从而更好地了解高能碰撞过程的特点.

致谢：笔者曾在中国原子能科学研究院、也门萨那大学、2011年全国核反应大会上报告过本文第1节的部分内容，在此感谢部分与会人员的有益讨论.

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Multi-Source Thermal Model and Jets Energy Spectrum and Fragmentation Function in High Energy Proton-Proton Collision

LIU Fu-hu，FENG Jin-ming
（InstituteofTheoreticalPhysics，ShanxiUniversity，Taiyuan030006，China）

We present an overview of the multi-source thermal model（or multi-source ideal gas model）suggested and developed in our previous works.The basic picture of the model is described.In the case of considering different quantities with different laws，the corresponding space distributions of the sources are discussed.After the review section，a multi-component Erlang distribution obtained from the model is used to analyze the energy spectra and fragmentation functions of jets formed in proton-proton collision at high energy.The calculated results of the model are approximately in agreement with the experimental data measured in■s＝200 Ge V proton-proton collision at the Relativistic Heavy Ion Collider.It shows that the energy spectra and fragmentation functions of jets formed in high energy proton-proton collision obey the multi-component Erlang distribution with a component number being 1 or 2.

multi-source thermal model（or multi-source ideal gas model）;high energy proton-proton collision;energy spectrum and fragmentation function of jets;multi-component Erlang distribution

O572.25

A

0253-2395（2012）02-0262-09＊

2011-02-06

国家自然科学基金（10975095）

刘福虎（1964－），男，山西夏县人，博士，教授，主要从事粒子物理与原子核物理方面的研究工作.E-mail：fuhuliu＠163.com;liufh＠mail.sxu.cn