一类五阶微分算子自伴域的解析描述

李凤军

(1.内蒙古工业大学 理学院,内蒙古 呼和浩特 010051;2.肇庆学院 数学与信息科学学院,广东 肇庆 526061）

1 预备知识

微分算子自伴域的解析描述是微分算子领域中的一个重要分支.由于许多应用问题可以用二阶微分算子来描述，且偶数阶对称微分算式的系数都是实函数，所以数学工作者关注的焦点主要集中于偶数阶算子，关于其自伴域和谱分解的研究成果颇多[1－2,4－8].近年来，随着对非自伴问题（特别是J－自伴问题）研究的深入，人们也开始关注奇数阶微分算子[3,5,7,9].

本文拟在一阶和三阶微分算子自伴域描述的基础上，进一步探讨五阶微分算子自伴域的表现形式，从而为后续研究奇数阶微分算子自伴域的问题寻找一条可行途径.

考虑微分算式

其中:pk(x)∈C∞(I).l(y)在L2[a,b]上生成的最大算子为M，最大算子域为D(M)；最小算子记为M0，最小算子域记为D(M0).

定义1[1]45称微分算式为l(y)的共轭微分算式.

引理1[1]51设l(y)是[a,b]上的微分算式，则∀y,z,有

引理2[1]51若将式(3)中的展开，则可写成

此时称Q(x)为l(y)的契合矩阵.

引理3[1]64线性流形D⊂D(M)为n阶正则微分算式l(y)自伴域的充要条件是它的任何函数y都满足n个独立的边界条件，即

其中系数矩阵A＝[αij],B＝[βij]满足如下条件:

且rank(A｜B)＝n,这里的(A｜B)表示所有的A和B的列矢合在一起得到的一个n×2n阶矩阵，Q(x)为l(y)的契合矩阵.

2 五阶微分算式的相关性质和结论

讨论如下形式的五阶对称微分算式：

其中,q(x)是[a,b]上的实值函数，且q(x)∈L2[a,b].

经过计算可以得到l(y)对应的契合矩阵Q(x),

故

这里Q－1(x)与Q(x)均与x的取值无关.

对五阶微分算式l(y)＝iy(5)＋q(x)y赋以边界条件

生成的微分算子记为L.其中A＝(ai,j)5×5;B＝(bi,j)5×5，记

由引理(3)知边界条件系数矩阵要满足（4），且rank(A｜B)＝5.

引理4 若l(y)＝iy(5)＋q(x)y对应的契合矩阵为Q(x)，则

定理1 设l(y)是式（5）表示的微分算式，则由l(y)生成的自伴算子的边界条件中不存在分离型边界条件.

证 假设存在分离型边界条件，由rank(A｜B)＝5知l(y)对应的分离型边界条件的系数矩阵(A｜B)只能是以下4种形式之一：

对自伴边界条件的系数矩阵(A｜B)作初等行变换，在第1种情况下可将系数矩阵化为(M｜N)的形式，其中：

Ni代表的矩阵有以上5种类型，这里a11,a12,a13,a14,a15,e,f,g,h为常数.

由计算可知，

当矩阵N＝N1时,计算可得

于是,MQ－1(a)M*≠N1Q－1(b);同理可证MQ－1(a)M*≠NiQ－1(b)，i＝2,3,4,5,故AQ－1(a)A*≠BQ－1(b)B*, l(y)不存在情形(Ⅰ)的自伴边界条件.

对于情形(Ⅱ)～(Ⅳ)可作类似的证明，同样可以得出l(y)不存在这几种情形的自伴边界条件，从而证明了五阶自伴微分算子不存在分离型自伴边界条件.

定理2 在自伴边界条件(4)中如果矩阵A可逆，则B可逆；反之若B可逆，则A必可逆.证 不妨假定矩阵A可逆,矩阵B不可逆.对条件（4）的两端取行列式可得

定理3 l(y)的自伴边界条件中当系数矩阵A和B均为可逆矩阵时,存在可逆的矩阵K使得自伴边界条件可表达为Y(a)＝KY(b)的形式，且有KQ－1(a)K*＝Q－1(b).

证 1)由引理3知l(y)的自伴边界条件的一般形式为

又已知A和B均可逆，则上式两边同时左乘A－1得Y(a)＝－A－1BY(b).

取K＝－A－1B,于是可得Y(a)＝KY(b).

因为K＝－A－1B，所以,KQ－1(a)K*＝[－A－1B]Q－1(a)[－A－1B]*＝A－1BQ－1(b)B*(A－1)*＝A－1[BQ－1(b)B*](A－1)*.又由自伴算子满足条件（4）知BQ－1(b)B*＝AQ－1(a)A*,故

其中,I为五阶单位阵.下面讨论一下自伴边界条件的具体表达形式.

由KQ－1(a)K*＝Q－1(b)，可以得到

因此，1)当Kij≠0,i,j＝1,2,3,4,5时，有

2)当K1j＝0,j＝1,2,3,4,5时，有rank(K)≤4，这与已知条件K可逆及rank(K)＝5矛盾,这种情形不存在.

3)K1j＝0(j＝1,2,3,4),K15≠0时,边界条件可表示为

其中,f1到f10,f0,a均为复平面上非零常数且满足如下关系式：

上面只讨论了几类特殊情形，其他情形可进行类似讨论.

作者对导师王忠教授和傅守忠老师的精心指导表示衷心感谢！

[1] 曹之江.常微分算子[M].上海:科技出版社,1987.

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