模糊系统中方形分片线性函数依K－积分模的泛逼近性

段晨霞，王贵君

（天津师范大学 数学科学学院，天津 300387）

模糊系统中方形分片线性函数依K－积分模的泛逼近性

段晨霞，王贵君

（天津师范大学 数学科学学院，天津 300387）

首先引入方形分片线性函数和K－拟可加积分的概念，应用诱导算子及积分转换定理证明了方形分片线性函数在K－积分模意义下对一类可积函数的泛逼近性.该结果表明：模糊系统中方形分片线性函数对连续函数的逼近能力可以推广为对一般可积系统的逼近能力.

方形分片线性函数；K－拟可加积分；＾μ－可积函数；K－积分模；泛逼近性

模糊系统是模拟人脑推理性能的一类有效模型，模糊系统的泛逼近性是人脑对于客观世界认识能力在这类模型上的体现.目前，对于一般连续系统已经初步形成系统的理论，诸多相关成果在通信［1］、工业过程控制［2－3］以及空间技术［4］等工程领域有成功应用.但是，除连续系统外，实际中还有许多非连续系统存在，如可积系统、随机系统等.因此，如何在非连续或随机性环境下研究模糊系统的泛逼近性具有重要理论意义和应用价值.在多维空间中方形分片线性函数在模糊系统逼近性的讨论中起到桥梁作用，近年来，关于方形分片线性函数在不同积分模意义下对函数类逼近性的研究已取得长足进展.刘普寅［5］针对p－可积函数类与连续函数类，系统研究了方形分片线性函数关于这2类函数的逼近性，得到了很好的逼近效果.自然地，人们会接着考虑方形分片线性函数还针对哪些函数具有逼近性，在不同的积分模意义下其逼近效果如何.本研究在K－拟可加积分和＾μ－可积函数概念［6－7］的基础上，引入K－积分模的定义，进而研究方形分片线性函数对一类＾μ－可积函数在K－积分模意义下的泛逼近性问题.

1 预备知识

作为研究模糊系统泛逼近性的基础，本节将引入一种所谓方形分片线性函数，该分片函数是分段线性函数在多元函数情况下的推广，其在讨论模糊系统的逼近性能时将起到重要的桥梁作用，也为研究模糊系统的逼近性能提供了一个有效工具.为了剖分模糊系统的输入空间，文献［5］曾引入了方形分片线性函数，并给出了下面的剖分方法：

2 K－拟可加积分和K－积分模

3 泛逼近性

本节在K－拟可加测度空间（Rd，R，＾μ）上，应用积分转换定理给出本研究的重要结果.该结果表明：模糊系统中方形分片线性函数对连续函数的逼近能力可以推广为对一般可积系统的逼近能力.

定理2 设（Rd，R，＾μ）为K－拟可加模糊测度空间，K为给定诱导算子，则d维分片线性函数类D d按

因K严格递增，K－1也严格递增，故∀ε＞0，K－12（ε）仍可任意小.因此，存在方形分片线性函数S（x）依K－积分模以任意精度逼近＾μ－可积函数f，亦即Dd按K－积分模在L1＋（＾μ）中稠密.

事实上，方形分片线性函数具有很多优良性质，例如：只在Rd的一个紧集上非零；单边偏导数存在而且有界；在Rd上一致连续等等.这些性质为研究连续函数类与可积函数类的逼近性提供了很多便利条件，进而也为研究模糊系统的逼近性奠定了良好的基础.

［1］ GHOSH S，RAZOUQI Q.A survey of recent advances in fuzzy logic in telecommunication networks and new challenges［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，1998，6：443－447.

［2］ TAKAGI T，SUGENO M.Fuzzy identification of system and its applications to modeling and control［J］.IEEE Transactions on Systems，Man and Cybernetics，1985，15：116－132.

［3］ TSAI H H，YU P T.Adaptive fuzzy hybrid multichannel filters for removal of impulsive noise from color image［J］.Signal Processing，1999，74（2）：127－151.

［4］ JANG J S R.Adaptive－network－based fuzzy inference system［J］.IEEE Transactions on Systems，Man and Cybernetics，1993，23：665－684.

［5］ 刘普寅，李洪兴.广义模糊系统对于可积函数的逼近性［J］.中国科学：E辑，2000，30（5）：413－423.

［6］ 蒋兴中.t K积分和Kt－积分［J］.四川师范大学学报：自然科学版，1993，16（2）：31－39.

［7］ 王贵君，李晓萍.K－拟可加模糊积分的绝对连续性［J］.四川师范大学学报：自然科学版，1998，21（3）：251－255.

［8］ 王贵君，李晓萍.K－拟可加模糊数值积分的零可加性与绝对连续性［J］.系统工程理论与实践，2005，25（1）：117－122.

［9］ 赵纬经，王贵君，李洪兴.模糊值函数的对偶＾μ－可积性及其应用［J］.系统工程理论与实践，2011，31（1）：113－121.

［10］ 王贵君，李晓萍.K－积分模意义下折线模糊神经网络的泛逼近性［J］.中国科学：E辑，2012，42（3）：362－378.

Universal approximation of square pricewise linear functions inK－integral norms in fuzzy system

DUANChen－xia，WANGGui－jun

（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

The concepts of square pricewise linear function andK－quasi－additive integral are introduced.By using induced operator and theorem of integral transformation，it is proved that square pricewise linear functions possess universal approximation for a class of integrable functions in the sense ofK－integral norm.The results show that the approximation capability of square pricewise linear functions for continuous functions can be extended to general integrable systems.

square pricewise linear functions；K－quasi－additive integral；＾μ－integrable functions；K－integral norm；universal approximation

O159

A

1671－1114（2012）03－0001－05

2011－09－28

国家自然科学基金资助项目（60974144）

段晨霞（1985—），女，硕士研究生.

王贵君（1962—），男，教授，主要从事模糊神经网络、模糊测度与积分方面的研究.

（责任编校 马新光）