内积H-Z-空间中的酉Z-算子与正常Z-算子及其性质

2012-01-04秦宣华杨万必

湖北民族大学学报(自然科学版) 2012年1期

秦宣华,杨万必

(湖北民族学院理学院湖北恩施 445000)

文献[1-8]引入了Z-空间(X,+,θ,‖·‖)、B-Z-空间、内积Z-空间、内积H-Z-空间、共轭Z-空间和共轭Z-算子的概念；在此基础上，本文提出了内积H-Z-空间中的酉Z-算子与正常Z-算子的概念，并将泛函分析学中希尔伯特空间有关酉算子与正常算子的性质移植到内积H-Z-空间中正常Z-算子的性质之中.

在文献[8]中讨论过共轭Z-算子以及自共轭Z-算子，下面研究内积H-Z-空间中的另外两类算子.

定义1 设H是复内积H-Z-空间，T∈R(H),则:

1)若T*T=TT*=I，称T是酉Z-算子，这里I是单位Z-算子.

2)若T*T=TT*=I，称T是正常Z-算子.

很容易得出以下结论：

命题1 设H是复内积H-Z-空间，T∈R(H),则:

1)若T投影Z-算子，则T是正常Z-算子；

2)若T自共轭Z-算子，则T是正常Z-算子；

3)若T酉Z-算子，则T是正常Z-算子.

定理1 设H是复内积H-Z-空间，T∈R(H),则:

1)T是酉Z-算子当且仅当T是到上的并且(Tx,Ty)=(x,y),x,y∈H

(1)

或 ‖Tx‖=‖x‖，∀x∈H

(2)

2)T是正常Z-算子当且仅当‖Tx‖=‖T*x‖，∀x∈H

(3)

3)T是酉Z-算子(或者正常Z-算子)当且仅当T*也是酉Z-算子(或者正常Z-算子).

证明1)根据极化恒等式容易得出式(1)和式(2)是等价的.由酉Z-算子的定义，T*T=TT*=I，于是T和T*都是到上的.此时(x,y)=(T*Tx,y)=(Tx,Ty),x,y∈H，故式(1)成立.反过来当式(1)成立时，x,y∈H(x,y)=(T*Tx,y)，于是，T*Tx,=x，即T*T=I.同理TT*=I.

2)当式(3)成立时，x∈H,(Tx,Tx)=(T*x,T*x)，从而(T*Tx,x)=(TT*x,x)，再应用极化不等式可得T*T-TT*=0，即T是正常Z-算子，反过来也很容易得出.

3)显然T是酉Z-算子当且仅当T*=T-1.于是T**=(T-1)*=(T*)-1，从而T*是酉Z-算子.关于T是正常Z-算子当且仅当T*是正常Z-算子的结论很易得出.

定理2 设H是内积H-Z-空间，T∈R(H).若T是自共轭Z-算子，则Z-算子.

U=(T+iI)(T-iI)-1

(4)

是酉Z-算子.

证明由于‖(T+iI)x‖=((T±iI)x,(T±iI)x)=(Tx,Tx)+(x,x)=(Tx,Tx)+(x,x)=‖Tx‖2+‖x‖2≥‖x‖2，于是T±iI都是一一的.容易得出R(T±iI)是闭子Z-空间.由于(T±iI)*=T*∓iI=T∓iI,同样地(T±iI)*是一一的，故而R(T±iI)=H.总之，T±iI都是一一的到上的Z-算子.于是(T±iI)-1都是定义在全内积H-Z-空间H上的有界线性Z-算子，U也是到上的.又因为UU*=(T+iI)(T-iI)-1(T+iI)(T-iI)=I,同理U*U==I，所以U是酉Z-算子.

定理3 设H是内积H-Z-空间，则:

1)T∈R(H)是正常Z-算子当且仅当T有如下分解：T=T1+iT2，其中T1，T2是自共轭Z-算子并且T1T2=T2T1.

2) 若Tn∈R(H)是正常Z-算子，‖Tn-T‖→0，则T是正常Z-算子.

证明1)若T1，T2是自共轭Z-算子并且T1T2=T2T1，T=T1+iT2，则: