运用线性回归及GM模型预测城市用水量

宋贤贺

摘要：本文通过采用多元线性回归的方法，得到相对最优的回归预测模型。再通过利用GM（1，1）模型，预测出规划年每个变量的值，代入多元回归模型，这样充分利用了两种模型的优点，从而合理预测城市用水量，达到预测精度高，结果更为合理可靠。

关键词：多元线性回归；GM（1，1）模型；预测；城市用水量

城市用水量的大小关系着城市的发展。如何比较准确地预测城市用水量，是政府在城市发展过程中必须解决的极为重要的问题。由于影响城市用水量的因素比较多，而诸多因子间又存在着相关关系，因此，能够尽可能使它们全面反映问题的信息量。所以，城市用水量的预测可以采用综合指标法、平均增长率法等进行经验类推可以取得较好的研究结果。但是，在城市发展进程中，由于受到一些变化因素的影响，其市场数据存在不规则的变化，采用历史数据类推则达不到理想的效果。本文采用多元线性回归法与GM（1，1）模型耦合进行城市用水量预测，充分利用两种模型的优点，从而达到较好的预测结果。

1 多元线性回归模型(MLR)

设有 组观测数据，分别为：

假设这 组数据满足以下关系式：

（1）

（2）

其中， 是（ ）个有待估计的参数，称为总体回归参数；是 个相互独立的随机变量，其均值都为0，方差为 ，即遵从同一正态分布 ，这就是多元线性回归的数学模型。

2GM（1，1）模型

灰色预测模型(ＧＭ)通过对原始数据进行生成处理，使其呈指数趋势变化，建立指数微分方程，最终得到预测模型。而灰色预测主要是对原始数据的处理和灰色模型的建立、发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态作出科学的定量预测。

设 为非负序列， 为 的1-AGO序列， 为 的紧邻均值生成序列， ，则称

（5）

为灰色微分方程

（6）

的白化方程，则

1.白化方程 的解为

（7）

2. 的时间响应序列为

（8）

3.取 ，则

（9）

4.还原值

（10）

3 试验数据统计

影响城市用水量的因素很多，例如人口、经济、工业、供水能力、人均日生活用水量、固定资产值等等。因此根据某城市1999～2005的统计资料，从中选取8个影响因子，见表1。其中 为GDP（万元）， 为人均GDP（万元）， 为固定资产投资（万元）， 为工业个数， 城市人口（万人）， 供水总量（ ）， 为人均日生活用水量（l）， 为水资源量（ ），建立数学模型，从而对该城市城市的用水量进行预测。

表1城市用水量及其影响因子的基本资料

3.1 运用线性模型

首先，以 为全部自变量，利用1990-2004年的序列资料，采用最小二乘法拟合一个多元回归模型，得

复测定系数

对模型进行 检验： 。查自由度为（6，1）的 分布表，有 ， ，，说明线性回归方程显著。

对各参数进行 检验，结果见表2。

表2 自变量模型的 检验结果

查表 ， ， 。从这个模型可以看出， 检验通过，但在 检验中有个别自变量对 的解释作用不显著，比如 。因此，可以考虑对自变量集合进行调整。

因此，计算水资源量与7个潜在自变量之间的简单相关关系，见表3。选取相关系数最大的自变量首先进入模型。

表3与 的简单相关系数表

首先进入模型：

复测定系数 ， 检验值：

检验值： ，

除 外，还有6个潜在自变量在模型外。以 与 为减模型，以 与 再和 中任意一个作为全模型，依次进行偏 检验。在通过 检验的变量中，选择 最大的进入模型。依此类推。得到最终模型为

（4）

对该模型， ， 检验值： 。

以2005年的数据进行检验，得到 ，与实测值10351相比，其误差为2.47%，模型的精度还是比较高的。

3.2建立城市用水量的灰色系统GM（1，1）模型

用GM（1，1）模型进行预测，建立GM（1，1）模型至少要有四个数据，这里，以2001-2004的数据，分别建立自变量的灰色GM（1，1）模型，并将2005年实测数据与预测的数据进行对照比较：

根据上述模型2005年的预测值与实测值比较见表4。

表4 2005年各变量预测值与实测值比较

4 MLR与GM（1，1）模型耦合预测

首先，对光滑离散数列的自变量样本采用GM（1，1）模型进行预测，然后将预测结果代入MLR回归模型，即将灰色模型的输出结果作为MLR回归预测方程的输入，从而在较全面考虑各影响因素的基础上，实现GM（1，1）预测模型与MLR回归方程的有机结合，最终取得较高精度的预测结果。

4.1预测结果验证

根据上述预测模型的预测值，代入MLR模型，并与实际状况作比较，结果见表5。

表5 组合方法用水量预测比较

由表5可知，预测结果平均相对误差为0.738%，可以满足城市需水量预测要求。

4.2规划年城市需水量规划年预测

根据各自变量的预测模型，计算出各自变量规划年的预测值，计算结果见表6。

表6 规划年自变量预测

将所预测影响因素规划年的预测数据代入MLR回归模型(4)中，即可得到规划年城市规划年用水量的预测值，见表7。

表7 规划年需水量预测

年份 预测值

2010 11486

2015 12406

5 结论

5.1 首先应用数理统计中的多元线性回归原理，选择影响城市用水量的7个因子，采用向前选择变量法，筛选出影响城市用水量的显著自变量并建立数学模型，这样剔除了多余变量的影响，使得建立的数学模型更具合理性。

5.2 再利用灰色GM（1，1）模型预测出规划年每个变量的值，代入MLR模型，预测精度高，结果更为合理可靠。

参考文献：

[1] 阿克苏地区统计局编.阿克苏统计年鉴1990-2002[M].

[2] 阿克苏地区统计局编.阿克苏统计年鉴2003-2005[M].

[3] 张杰明.试论用多元线性回归法预测城市用水量[J].城市公用事业，2004，18（4）：23-25. [4] 刘严.多元线性回归的数学模型[J].沈阳工程学院学报，2005，1（2）：128-129.

[5] 邓聚龙.灰理论基础[M].武汉：华中科技大学出版社，2002.

注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。