用方程解决问题的教学现状及建议

　　 《数学课程标准》中明确规定：“数学课程其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律。强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”虽然课程改革已近十年，教师的观念有了很大的变化，但是，就数学教学过程而言仍然存在不少亟待解决的问题。特别是在用方程解决问题教学中，走老路教学方法还普遍存在，请看下面两例：
　　 案例1：一教师的一节“一元一次方程的运用”，教师是这样安排的：课程一开始就通过例题的讲解向学生详细介绍如何通过列一元一次方程来解决应用题，重点介绍了如何通过列表的方法理清题中的数量关系，之后又对此题进行了各种变式，讲得很清楚，很透彻，可在学生练习中，有近30％的学生仍然用小学学习的算术方法解题，对老师强调的列方程的方法“置若罔闻”，更多的学生拿到题目之后是直接列出方程，然后，为了完成老师布置的任务，才在后面补上一个表格，作为分析过程的一个步骤，这真是一个令人啼笑皆非的结果，老师也始料未及，绝大部分学生听得非常认真，难道他们是人在教室思想在外？
　　 案例2：一教师出示这样一道问题：小张和父亲搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷。在行使了一半路程时，小张向司机询问到达火车站的时间，司机估计继续乘公共汽车到火车站时火车将正好开出。根据司机的建议，小张和父亲随即改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开出前15分钟到达火车站。已知公共汽车的平均速度是30千米／小时，问小张家到火车站有多远？然后教师读题，读完后就说题目很长，我们来攫取有用信息，第一句是废话，题意就是一半路程乘公共汽车，另一半路程乘出租车，比全程都乘公共汽车少用15分钟。然后进行列表分析，把表的框架写好后，才让学生思考、讨论。学生列出了两种不同的方程，教师点评，再做后面配套练习。练习中大部分学生无从下手，只好等待老师讲解，其实练习题和这个例题本质相同，只不过是换了一下背景。
　　 案例3：教师出示一个问题，让学生先思考几分钟，然后安排学生小组讨论。于是乎，教室就像炸开了锅，每个组的学生都热烈地参与交流讨论，教师看着这么热闹的课堂，会心地一笑。但当我们走近一听一看，发现学生在对答案，当一组学生把答案统一后，与这答案不同的同学使劲地把自己的做法全部擦掉，做对的学生把想法和做法讲给他们听。这样看上去好像效果很好，其实不然，因为做错的学生他不知道自己问题出在哪里。二是有些组在讨论时抓大放小，对意义不大的问题争论不休，白白浪费时间。过了十几分钟，讨论结束，学生展示，把他们不同的想法纷纷说出，老师说这些方法都可以。接着进入下一题，如此重复上面的环节，直至下课。
　　 由上可见，这三节典型的用方程解决问题的教学中存在了以下问题：不了解学生已有水平，凭主观臆断确定教学起点；培养和发展学生的数学能力意识不强；给学生探索思考的空间和时间太少，学生学习过程体验不足；对学生的探索引导不够；对学生小组合作交流展示的指导不到位；忽视数学教学的育人功能等。下面对当前用方程解决问题教学的过程提出若干教学建议。
　　 一、基于学生经验和现有思维发展水平的基础上进行教学
　　 “影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么。要探明这一点，并应据此进行教学。”（奥苏伯尔）因此，教师应该以学生现有思维发展水平为依据，选择与学生发展水平相适应的学习材料，为学生设置恰当的教学环境，使学生对新知识进行充分的思维加工，通过新知识与已有认知结构之间的相互作用，使新知识同化到已有认知结构中去，达到对新知识的相应理解。上面第一位教师没有充分地去“备”学生，没有重视学生从算术中建立起的经验，让学生有一个重新组织这些经验来建构对列方程解决问题的理解的机会。其实，只要从学生的实际情况出发，重新组织教材，让已经学过的知识进入新的情境中应用，温故而知新，就能达到很好的效果。
　　 如对于上面的问题我是这样处理的：首先向学生出示了两个实际问题，第一题是简单的相遇问题，学生可自由发挥，或用算术方法或用列方程的方法加以解决。第二题是一个著名的鸡兔同笼问题，不少同学还是尝试着用算术方法加以解决，但极大部分学生不能成功，这时我不失时机地指出列方程解决问题的优越性，已经有一定方程基础知识的学生在老师的激励下列出了方程，没有列出的也跃跃欲试，在这种良好的氛围下，师生一起共同探讨列方程解决问题的思路与方法，以及与算术方法相比的优越性，在共同的活动中使学生深切地感受到，找出题中的等量关系是列方程的关键，而列表有助于我们较快的找出等量关系，课后练习中学生们基本上均能主动地通过列表的方法找出等量关系而后列出方程。
　　 二、让学生真正参与思维活动，培养学生解决问题能力
　　 数学学习不仅是知识的学习，更多的是数学思维活动的学习，学生在数学学习过程中发生障碍和困难，往往是数学思维活动发生障碍和困难。作为一个教学的引导者和参与者，不能单纯地教给学生数学结论，应该及时“点拨”和“引导”学生思维。把学生真正看成是学习的主体，把教学真正建立在学生自己独立探索、思考、理解的基础上，真正给学生进行主动思维活动的机会，使他们在学习过程中有充分地自由思考空间，使学生有机会经历数学知识的发生发展过程。
　　 我们知道，用方程解决实际问题最重要的就是审题和运用合适的方法进行分析。学生只有掌握了这项本领才能解决各种各样的实际问题，如果未经学生自己的独立思考就告诉学生解题的方法，这实际上是剥夺了学生亲身体验学习过程，特别是体验成功与失败的机会，结果必然会大大降低学习的质量，影响学生理解知识的深刻程度和洞察学习错误的敏锐程度，经常造成学习上的“事后诸葛亮”（学生自己苦苦思索而不得要领，稍加点拨后又恍然大悟）。像上面的教师对学生的学习能力不信任，总搀着学生，不惜去代替学生思维，把一个培养学生解决应用问题能力的大好机会白白地浪费了。结果是连换汤不换药的应用问题都不能解决，培养学生解决问题的能力从何谈起？学生的学习过程必然包含尝试错误、不完善的推理、对问题认识的片面性和间断性，这种不协调、不完全的现象是达到更高水平理解所必需的中间阶梯。其实，一开始应让学生自己读题，自己攫取题中有用的信息，自己分析已知条件和要求结论的数学意义，挖掘其中的隐含条件，准确理解题意，抓住数量关系，联系数学知识和数学方法，恰当引入变量进行列表分析，在这过程中，让学生尽情地暴露自己的思维，针对学生思维的多样性和个体差异性，教师进行适当的引导和修正，以提高学生领悟能力。在弄清此题的关系后，至少可以给出四种解法。同时可对此题作简单的修改，如把“司机估计继续乘公共汽车到火车站时火车将正好开出”改为“司机估计继续乘公共汽车到火车站时火车已开出半个小时”。还可将“一半路程”改为“1/3路程”等。还可作更进一步的探索，让学生自编生活中类似的题，一开始可让他们不换数据换背景，然后再作更高要求，这样举一反三，不仅使学生的学习变得富有情趣，而且从中培养了学生的能力。
　　 三、精心设计试题，发展学生数学能力
　　 好的试题，对学生有较大的教育价值，能促使学生克服墨守成规的学习习惯，活学活用最基本的数学知识与数学方法，解决实际问题，能给学生提供广阔的思维空间，从中体会到创新与成功的喜悦。同时设计的试题应有趣味性，使学生乐意去思考这些问题。
　　
　　 如作业中有这样一道题：初一（6）班同学步行到郊外野营。步行速度为4千米／小时，有10位同学由于学校有事，耽误了2小时，将他们组成一个小分队，命他们以6千米／小时的速度追赶大部队。同时，他们在出发后，派一名同学骑自行车做联络员在他们和大部队之间不间断地来回进行联络。联络员骑车速度为15千米／小时，问小分队追上大部队时联络员行了多少路程？评讲作业时我把它的问题擦去，让学生自己提出问题并尝试解答。学生提的问题有：（1）小分队追上大部队需要多少时间？（2）联络员第一次追上大部队需要多少时间？（3）联络员第一个来回需多少时间？（4）联络员第一次与大部队会合后走了1千米，自行车坏了在原地等待，经过多少时间才与小分队会合？这些题目通过学生自己的提问和回答，把这类问题的多种设问都弄明白了。这一过程的教学为学生提供了更多的交流与合作的机会，为充分发挥学生的主体作用创造了条件。同时这个开放题的教学过程是学生主动构建、积极参与的过程，有利于培养学生数学意识，发展学生的数学能力。这个教学过程也是学生探索和创造的过程，有利于培养学生的探索开阔精神和创造能力。
　　 四、指导学生进行有效的合作学习
　　 小组合作学习这种全新的学习方式唤醒了学生压抑已久的学习热情，大大提高了学生的学习兴趣，如果像案例3中的老师那样放任学生、听之任之，那么课堂效率显然是低效的。教师应让学生明确交流的目的，交流不仅仅是为了正确答案，更重要的是获取正确答案的过程。对每个学生来讲，解决同一个问题的想法很有可能是不同的，那么，是殊途同归呢，还是谁的想法错了，如果错了，一定要弄清这种解法错在哪儿，是一开始就想错了，还是算错了，应该如何修改？如果有的学生根本没有思路方法，其他学生要弄清他的思维受阻点，并进行点拨帮助，让他自己获得解题方法。讨论的结果应该是全组学生都明确此题的正确的做法，并弄清哪里是关键，哪里是易错点。
　　 教师要把注意力集中在了解指导上，在学生讨论交流时，千万不能站在某处无所事事，而应走下去了解每个组的交流情况，对有问题的组进行及时指导。在此基础上，教师还需迅速加以思考，下一步的教学应该作哪些调整，哪些问题可以一笔带过，哪些问题需要再深入探讨，哪些问题需要教师来亲自讲解等。
　　 五、重视数学教学中的育人教育
　　 课堂不仅是学科知识传递的殿堂，更是人性养育的圣殿。课堂教学潜藏着丰富的育人因素，“教学永远具有教育性”，这是教学活动的一条基本规律。教师不仅要充分挖掘和展示教学中的各种道德因素，还要积极关注和引导学生在教学活动中的各种表现和发展，从而使教学过程成为学生丰富的人生体验。如今各地中考中总有几道联系社会热点及现实生产生活的问题，以考察学生用数学知识解决实际问题的能力。这些题目都非常长，其实并不是很难，只要耐心去分析，基本上还是能解决的。可是我们经常会看到这种情况：有一些学生看到此类题的题目很长，就没心思去看，计算稍有些繁，就望而却步。如果教师平时注重发挥教育功能，就不会出现上面这种情况了。有一次我遇到这种情况，我就说：“解这类题好像是进行二万五千里长征，当年能挺过去的是英雄，今天能挺过去的是社会栋梁。”这无疑对学生的鞭策和鼓励作用是很大的。其实，教学生解题是意志的教育，当学生求解那些对他来说并不太容易的题目时，他学会了败而不馁。让学生讨论、交流，就是让他们学会合作。选择与人的生存相关的问题，增强学生的责任感等。
　　 数学教学需要教师站得高、望得远，如果我们能深刻领会《数学课程标准》所提出的要求，并付诸切切实实的教学行动，那么学生眼中的数学学习一定会变得鲜活、生动而引人入胜，而教师所企盼的兴趣、能力、创新等也必将随之而来。
　　 （江苏省锡山高级中学匡村实验学校）