追根溯

　　众所周知，要造好房子最重要的是在选定的地域上打地基，只有地基打结实了，造出来的房子才会牢固，不然就是空中楼阁。数学中的概念就像是数学知识体系中的“地基”，在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础，所以只有数学概念学习得扎实了，才有可能理解数学中的各个知识与方法，才可能灵活应用数学中的公式、定理、法则等。在数学教学中在每一个新的知识体系开始时首要的就是让学生能够理解这一体系中的概念，并透过概念本身去把握概念的本质。
　　一、什么是数学概念
　　概念是在头脑里所形成的反映对象的本质属性的思维的基本单位。把所感知的事物的共同本质特点抽象出来，加以概括，就成为概念。概念都具内涵和外延，并且随着主观、客观世界的发展而变化。数学概念是在人类历史发展过程中逐步形成和发展的，是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。一般来说，数学概念是运用定义的形式来揭露其本质特征的。
　　二、数学概念分类
　　数学概念是现实对象的数量关系与空间形式的关系，因此大体来说概念可以分为两大类，一类是对客观世界中的数量关系和空间形式的直接抽象，这一类的概念是对现实对象或关系直接抽象而成的，与现实比较贴近，所以人们常常将它们与现实原型“混为一谈”、融为一体，如多边形、锥体、柱体、平行、垂直等都有这种特性。第二类是在已有数学理论上的逻辑建构，这一类是纯数学抽象物，是抽象逻辑思维的产物，是一种数学逻辑构造，没有客观实际与之对应，如方程、函数、极限等，这类概念对建构数学理论非常重要，是数学深入发展的逻辑源泉。
　　三、数学概念的教学
　　概念教学不能只满足于告诉学生“是什么”或“什么是”，还应让学生了解产生这个概念的背景和引入它的必要的理由，知道它在建立、发展理论或解决问题中的作用。更重要的一点是，对于概念的学习不能仅仅浮于定义描述的语义的理解，也不能只是用来判断某个对象是否是它的一个标准，还要认识它内在所包含的特点性质，这样才能更好地、更清楚地把握好所学习的那个概念。举个例子来说明一下，例如，等比数列的定义：在数列an中，从第二项开始，每一项与其前一项的比为同一个常数，则这样的数列称为等比数列。这个定义能帮助判断一个数列是否为等比数列，同时在这个定义中还有一些细节要注意。（1）因为是每一项与前一项的比是同一个常数，那么等比数列中的任何一项不可以为0，进而作为同一个常数的公比ｑ也不可以为0；（2）分析一下公比ｑ分为两种情况：ｑ>0时，等比数列中各项的符号一致，同为正或同为负，ｑ<0时，等比数列中奇数项与偶数项的符号相反；（3）还有一个特殊情况要注意，当q=1时，等比数列为常数列，在此可以联想到等差数列中公差ｄ=0时也是常数列，又引出一个问题：是不是常数列都既是等差数列又是等比数列，在讨论之下，可以得到一个结论：非零的常数列才既是等差数列又是等比数列。通过这个例子，可以看到深入挖掘概念是非常有必要的，这些挖掘出来的特点性质对于深入下一阶段的学习和在解决问题上是很有必要的。
　　当然，为了让学生更好地掌握概念，在教学过程中一定要注意教学的方法。教师在备课过程中要分析教材，了解所要教授的概念的特性，为教学的开始选择合适的素材，设计适当的问题情境，让学生在认识概念时有从感性到理性的过程，有从现实到理论的过程，在此过程中去掌握概念的不同特征，再通过一些概念运用的训练，加深对概念的理解，为有效地应用概念解决问题作铺垫。例如，在学习多面体的时候，可以先让学生自行准备一些生活中触手可及的物品作为模型带入课堂，在课堂上通过观察分析来得出特点性质，然后下定义。这种方法是一个由生动的直观到抽象的思维、再从抽象的思维到实际的应用的过程，学生接受起来较为容易，这一种方法比较适用于第一类概念。对于第二类概念往往是要借助于已知的数学知识体系。如在讲解“等差中项”时，除了认识“若a，b，c成等差数列，则称b为a，c的等差中项”这一定义外，还必须在掌握“等差数列”的基础上，得到变式“a－b＝b－c”“2b＝a＋c”，建立算法：a与b的等差中项是。由于学生习惯形象思维与记忆，对较抽象的数学概念要尽量引导学生从形的角度进行再认识，以获得概念的直观、形象支撑。
　　概念的理解是一个系统工程，概念学习的最终结果是形成一个概念系统。学生要理解一个数学概念，就必须围绕这个概念逐步构建一个概念网络，网络的节点越多、通道越丰富，概念理解就越深刻。所以，概念的学习需要一个过程，但不是一个单纯的逻辑解析过程，“讲清楚”定义并不足以让学生掌握概念。
　　（常州刘国钧高等职业技术学校）
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