浅析解决梯形问题常用的方法

　　一、问题的提出
　　解决梯形问题常用的方法是添加辅助线。而初中学生在解决平面几何问题时，往往缺乏添加辅助线的经验，因此，辅助线的添加是初中生学习的一个难点，下面通过举例说明梯形常用辅助线的添加方法。
　　二、指导思想
　　梯形是与平行四边形并列的一种特殊的四边形，它是平行四边形与三角形知识的综合，因此，解决梯形问题的指导思想通常是通过适当添加辅助线，将梯形问题转化为三角形或平行四边形问题，再运用三角形或平行四边形的知识解决梯形的相关问题。
　　三、基本方法：通过平移或旋转来实现
　　1. 平移
　　(1)平移两腰
　　过梯形一底的中点作两腰的平行线，将梯形问题转化为两个平行四边形及一个三角形的问题来加以解决。
　　例1：如图1，梯形ABCD中，AB∥BC，
　　∠D+∠C=90°，AB=3，DC=5，E，F分别是
　　AB，CD的中点，则EF=_____。
　　答案：1
　　简析：过点E作EM∥AD交DC于点M，作EN∥BC交DC于N点，则∠MEN=90°，DM=AE=EB=NC=1.5，
　　 ∴MF=NF=1∴EF=MN=1。
　　 优点：①出现上下两底之差；②将两腰放在同一个三角形中。
　　(2)平移对角线
　　过梯形对角线的一个端点作另一条对角线的平行线，并与另一底的延长线相交jHWXhi3hG1+iuW22SApzmw==，构成一个平行四边形和一个三角形，使两条对角线在同一个三角形中。
　　例2：如图2，等腰梯形ABCD中，
　　AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD，若AD+BC=2a。
　　求S梯形ABCD 。
　　解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E。
　　∵AD∥BC∴四边形ADEC是平行四边形
　　∴CE=AD，DE=AC∴BE=BC+CE=BC+AD=2a
　　∴S△ABD=S△DAC=S△CDE
　　 在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD
　　 ∴△BDE是等腰直角三角形 ∴BD2=DE2=BE2==2a2
　　 ∴S梯形ABCD=S△BDE=BD·DE=BD2=·2a2=a2
　　 优点：①将上下两底之和转化到一边上；②将两条对角线放在同一个三角形中；③将梯形的面积转化为三角形的面积。
　　 方法点拨：当梯形的对角线相等或垂直时，常作对角线的平行线，构成平行四边形、等腰三角形或直角三角形。
　　2. 作高
　　过梯形上底的两个端点作梯形的两条高，把梯形分割成两个直角三角形和一个矩形来解决问题。
　　例3：如图3，梯形ABCD中，
　　已知AD∥BC，BC=BD，AB=AC，
　　且AB⊥AC，则∠ABD的度数为____。
　　 简析：分别过点A，D作AE⊥BC于点E，作DF⊥BC于点F
　　∵AB=AC，且AB⊥AC
　　∴∠ABC=45°，AE=BC∴DF=AE=BC=BD
　　∵∠DFB=90° ∴∠DBF=30°∴∠ABD=15°
　　3. 延长两腰
　　延长两腰交于一点，可构成两个三角形，利用三角形的有关性质解决问题，也是常用的方法之一。
　　例4：如图4，梯形ABCD中，AB∥DC，
　　∠D=∠C=60°，AB=a，AD=b。求DC的长。
　　解：延长两腰交于点E
　　 ∵AB∥DC∴∠EAB=∠D=60°，∠EBA=∠C=60°
　　 ∴△EAB，△EDC均为等边三角形∴EA=AB=a
　　 ∴DC=DE=DA+AE=b+a。
　　 4. 利用中点
　　 (1)等积变形(旋转)
　　 连接梯形上底的一个端点与另一腰中点并延长与下底的延长线相交，借助所得的三角形及中位线能使思路清晰明朗。
　　例5：如图5，梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中点。
　　求证：S梯形ABCD=2S△DEC 。
　　证明：延长DE交CB的延长线于点F
　　∵AD∥BC∴∠A=∠EBF
　　∵AE=BE，∠AED=∠BEF
　　∴△ADE≌△BFE ∴DE=FE，S梯形ABCD=S△CDF
　　∵S△DEC=S△CFE=S△CDF∴S梯形ABCD=2S△DEC
　　 方法点拨：通过做辅助线，利用对称性做等积变形是解决此类问题的常用方法。
　　 (2)作中位线
　　例6：如图6，梯形ABCD中，AD∥BC，E为
　　AB中点，AD+BC=CD。试猜想△CDE的形状，
　　并证明你的结论。
　　解：猜想△CDE是直角三角形
　　证明：过点E作EF∥AD交CD于点F
　　∵E为AB中点∴EF是梯形ABCD的中位线
　　∴EF=(AD+BC)=CD∴△CDE为直角三角形。
　　 (3)连接对角线中点和顶点
　　连接梯形一顶点与一对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。
　　例7：如图7，梯形ABCD中，AD∥BC，
　　P，Q分别是对角线AC，BD中点，猜想PQ
　　与AD，BC之间的数量关系，并加以证明。
　　解：猜想PQ=（BC-AD）
　　证明：连接DP并延长交BC于点M
　　∵AD∥BC∴∠DAC=∠BCA
　　∵∠APD=∠CPMAP=CP ∴△ADP≌△CMP
　　∴DP=MP，AD=MC∴PQ是△DMB的中位
　　∴PQ=MB=(BC-MC)=(BC-AD)
　　总之，解决梯形问题常用的方法，关键是学会添加辅助线。辅助线的添加不能盲目，首先认真审题；其次要结合题目的条件和结论；再次要求熟练掌握基本定理及基本图形的性质；最后结合上述方法添加适当的辅助线。正确熟练地掌握辅助线的添加是我们快捷解题、证题的关键。
　　
　　（钦州市合浦师范学校）