二次函数解析式的模型归类

　　摘要：二次函数是九年级数学的重要内容，其中确定函数的解析式是重要的课程目标。要依据特殊性包含于一般性的原则，探索归纳出由特殊到一般的二次函数的解析式模型，达到快速准确地应用待定系数法确定解析式的目标。
　　关键词：二次函数解析式；确定型；开放型；图像变换型
　　
　　二次函数中，解析式的确定是重要的课程目标。在教学中，要确定二次函数解析式，在不同的已知条件下套用不同的解析式模型，可以简化解题过程。
　　一、确定型
　　要确定任意一个二次函数的解析式，都可以用待定系数法，设解析式为y=ax2+bx+c，而特殊函数的解析式能采用特殊的解析式模型。
　　（1）一点式：二次函数图像与y轴交于（0，p）时，由二次函数图像的几何意义，设解析式为y=ax2+bx+p。
　　例1．已知过A（-2，-1），B（2，1）两点的二次函数的图像与y轴相交于（0，-2），试确定该二次函数的解析式。
　　 解析：设二次函数的解析式为y=ax2+bx-2，由已知得：4a-2b-2=-1，4a+2b-2=1，a=，b=，
　　故，解析式为y=x2+x-2。
　　（2）两点式：已知二次函数图像与x轴交于两点（m，0）和（n，0）时，由二次函数图像的几何意义知，x=m和x=n是函数值为0的方程的两个根，故设解析式为y=a（x-m）（x-n）。
　　例2．已知抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（2，3）三点，求该抛物线的解析式。
　　解析：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），将C点的坐标代入，得，-3a=3，a=-1，故，y=-（x+1）（x-3）。
　　（3）三点式：已知二次函数图像与x轴交于两点（m，0）和（n，0），与y轴交于点（0，p）时，x=m和x=n是函数值为0的方程的两个根，可以设解析式为y=a（x-m）（x-n），即y=ax2-a（m+n）x+amn，而amn是图像与y轴交点的纵坐标，于是amn=p，解得a=。特别的，图像过原点（0，0）时，设解析式为y=ax（x-m）。
　　例3．已知抛物线经过A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，且BC=3，求抛物线的解析式。
　　 解析：设C（0，c），由B（3，0），BC=3，得（3）2=32+c2，c=±3，设解析式为y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a，则-3a=±3a==，故，y=±（x+1）（x-3）。
　　（4）顶点式：已知二次函数的图像顶点为（h，k）时，设解析式为y=a（x-h）2+k。
　　例4．已知O为原点，A（2，0），B（1，），求经过A，B，O三点的抛物线的解析式。
　　解析：由已知得，点B为抛物线的顶点，故设解析式为y=a（x-1）2+，过（0，0）点，则a=-，即y=-（x-1）2+。
　　（5）对称轴式：已知抛物线的对称轴为x=h，设解析式为y=a（x-h）2+k。
　　例5．已知抛物线的对称轴为x=2，且过点（4，2），（1，0），求该抛物线的解析式。
　　解析：由抛物线的对称性，设解析式为y=a（x-2）2+k，则2=4a+k，0=a+k，a=，k=-，故，y=（x-2）2-。
　　 二、开放型
　　确定一个二次函数的解析式的开放问题是新课程中出现的新型问题，旨在考查学生的发散思维能力，只要掌握抛物线的开口方向、对称轴方程、顶点位置、与x轴和y轴的交点、y随x的增大而变化的趋势等对应的实数的取值范围，任意写出一个函数关系都符合要求。
　　例6．（1）已知一个二次函数图像的顶点为（-2，3），且开口向下，求函数的解析式。
　　解析：只须注意在解析式y=a（x+2）2+3中，a＜0的条件，
　　故，解析式可以为y=-（x+2）2+3。
　　（2）已知二次函数的图像与y轴相交于（0，-1），顶点在第三象限，在第一象限y随x的增大而增大，求函数的解析式。
　　解析：设解析式为y=ax2+bx-1，由顶点在第三象限，且在第一象限y随x的增大而增大，知开口向上，a＞0，＞0，即b＞0，故，解析式可以为y=x2+2x-1。
　　 三、图像变换型
　　对图像采取平移和轴对称变换后，只改变图像在坐标平面内的位置或开口方向，而不改变开口大小，所以，变换前后，紧紧抓住顶点的位置（坐标）和开口方向，是解决问题的关键。
　　例7．已知：二次函数y=ax2+bx+c，将其图像依次进行如下变换：⑴作关于x轴的轴对称图形；⑵作关于y轴的轴对称图形；⑶向左平移1个单位，向上平移3个单位，得二次函数的解析式为y=2（x-1）2-2。试确定原函数解析式。
　　思路：按变换顺序的倒序⑶，⑵，⑴的顺序及原变换的逆变换依次作3个变换，即确定了原函数的解析式。
　　解析：将y=2（x-1）2-2逆变换⑶：向右、向下分别平移1，3个单位得y=2（x-2）2-5→逆变换⑵：作关于y轴的轴对称图形y=2（-x-2）2-5=2（x+2）2-5→逆变换⑴：作关于x轴的轴对称图形-y=2（x+2）2-5，即y=-2（x+2）2+5。
　　故，原函数的解析式为y=-2（x+2）2+5。
　　 （通渭县第二中学）