如何挖掘平面几何图形的潜在功能

　　数学知识是纵横贯通、前后联系的整体，而不是孤立的、静止的、不变的内容。事实上，数学教材中的许多例题、习题都具有一定的目的性、典型性和示范性，蕴涵的内容十分丰富，教师若能从多方位、多角度去钻研习题，挖掘习题的潜力，善于引导学生对习题作进一步的引申和探索，使问题拓宽、加深、变活，以较少的题目，使学生获得最大的收获，这不仅能增强学生学习的兴趣，开拓学生的解题思路，而且对提高学生的分析和解决问题的能力，发展创新思维都能起到较好的效果。
　　一、挖掘图形的变式功能
　　美国著名数学家教育家G·波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题就像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”事实上，一个数学问题，如果只满足于解答，那么就显得单调，收获较小。如果将问题朝各个方面延伸运动，我们将看到几何图形“活”的本质所在，培养了学生举一反三、灵活转换的能力。
　　例1已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，AN、BM相交F，求证：①AN=BM；②∠AFB=120°。
　　此题难度不大，学生容易获证，为了加强训练学生探索问题的能力，可通过改变图形对该例题进行横向推广；亦可通过增加条件对该例题进行纵向延伸。
　　如图2，在任意△ABC的外面作等边△ACM和△BCN，AN、BM相交于F，求证：①AN=BM；②∠AFB=120°。（这里，将图1中的“直线ACB”变成“折线ACB”）
　　如图3，点C为线段AB上一点，四边形ACMG和△CBHN是正方形，求证：①AN=BM；②AN⊥BM。（这里，将图1中的“正三角形”变成“正方形”）
　　如图4，在锐角△ABC的外面作正方形ABDE和正方形ACFN，求证：① BN=CE；②CE⊥BN。（这里，将图3中的“直线ACB”变成“折线BAC”）
　　这里，我们看到了通过图形的几种变式，研究了解题途径，达到了触类旁通的效果。
　　二、挖掘基本图形的运用功能
　　任何复杂的几何图形都是由最简单的、最基本的图形组成的。研究基本图形的性质，发挥基本图形的功能，就可以比较顺利地解决复杂性图形的问题，使学生掌握解题的钥匙。
　　下面请看一个重要的基本图形及其应用。
　　如图5、图6，△ABC形中或形外，作DE∥BC→△ADE∽△ABC，形成基本图形，例2 如图7，在△ABC的AC边上取中点F，过F作直线交AB于E，交BC的延长线于D，且使BC∶CD=1∶2，求AE∶CD的值。
　　这是一道较复杂的求比值的问题，教学时可引导学生通过作平行线构造图5或图6基本图形展开讨论。在作平行线时还要启发学生所作的平行线应能与已知条件和所求结论相联系，起到“桥梁”的作用，可提示学生通过关键点C或F作平行线构造图5或图6的基本图形，于是学生纷纷投入到探索的热情之中。
　　学生1：如图8，过点C作CH∥ED交AB于H，则△AEF和△AHC及△BCH和△BDE构成图5，由条件AF=FC和BC∶CD=1∶2，易求出AE:CD=2∶3。
　　学生2：如图9，过点C作CH∥AB交DE于点H，则△CDH和△BDE构成图5，△AEF和△CHF构成图6，同样可求得AE∶CD=2∶3。
　　学生3：如图10，过点F作FH∥BD交AB于H，则△AHF和△ABC、△EHF和△EBD构成图5可求解。
　　学生4：如图11，过点F作FH∥AB交的BD于H，则△CHF和△CBA，△DHF和△DBE构成图5也可求解。
　　此时教师应及时进行小结，鼓励学生勇于探索的精神，同时更进一步指出：能否过其他点作平行线构造基本图形？引导学生思维向外部发散。经过探究，学生很快又得到如图12、如图13作平行线的解法，解题思路得到充分的拓宽。
　　再让学生对每一种方法进行解答。
　　这里，我们清楚地看到了“基本图形”在复杂问题中产生的作用，体现了抓“基本图形”的教学方法的效果。因此，在解决几何问题时，运用基本图形的性质，发挥它的模型作用，添加辅助线就有规可循。
　　通过对典型习题进行横向推广、纵向延伸，可达到一题多变、一题多用、以点带面的教学效果。上面的例子，我们看到了对例题、习题进行深入探索、引申、加工成多个结论，便会得到一系列纵横沟通的好题目，这不仅有助于克服题海战术，还能激起学生探索的欲望，拓宽他们的思路，活跃思维，培养他们勇于探索的个性品质和创新能力。
　　 （龙川县田心第二中学）