“集合”帮你学逻辑

　　摘要：本文从“集合”角度理解命题；“集合”角度理解命题的“充分”和“必要”条件；“集合”角度处理问题“三个方面对“集合”进行了探讨，指出恰到好处地利用“集合”，能真正实现把抽象问题具体化，体现出“集合”的形象性与工具性。
　　关键词：集合；逻辑；充分条件；必要条件
　　
　　在“逻辑”这一章，有些知识的理解是很抽象、很模糊的，教师也难讲解，学生更难掌握。如果我们从“集合”的角度去理解它，就会“柳暗花明又一村”。有些人可能认为“集合”的要求很低，在高中数学中地位不大，那么，我们现在就“集合”在高中数学中的“常用逻辑用语”部分所扮演的角色作一下尝试，体会一下从“集合”的角度去理解抽象“逻辑”的妙用。
　　一 、“集合”角度理解命题
　　书本中是通过具体的实例，让学生体会命题的构成，也是通过实例获得“原命题”与“逆否命题”的真假性的一致性这一结论的。在此我们可以通过“集合”的观点解释为什么原命题与逆命题的真假性存在此种关系。
　　如图1，设原命题为若p则q，则逆否命题为若p则q。
　　记集合P={x|p(x)}，Q={x|q(x)}，记全集为U。
　　若原命题为真，即pq?圳P?哿Q?圳CuQ?哿CuP?圳q?圯p，∴p?圯q?圳q?圯p。
　　所以，原命题与逆否命题均为真命题。若原命题为假命题即：p?覩q?圳p?埭Q?圳CuQ?埭CuP?圳p?覩q，∴p?覩?圯q?圳p?覩q。
　　如图2三种情况，所以，原命题与逆否命题均为假命题。
　　综上所述，我们会得到，原命题与逆否命题的真假性始终是相同的。
　　二、“集合”角度理解命题的“充分”和“必要”条件
　　一个命题有真假，决定了命题的“条件”和“结论”之间的关系，记P={x/p（x）}，Q={x/q(x)}，从集合角度来理解命题的条件p与结论q的关系如下：
　　（1）若p?圯q，则p是q的充分条件?圳P?哿Q；
　　（2）若q?圯p，则p是q的必要条件?圳Q?哿P；
　　（3）若p?圳q，则p是q的充要条件?圳P=Q；
　　（4）若p?圯q且q?覩p，则p是q的充分不必要条件即P?奂Q；
　　（5）若p?覩q且q?圯p，则p是q的必要不充分条件即Q?奂P；
　　（6）若p?覩q且p?覩q，则p是q的既不充分条件也不必要条件?圳Q，P没有包含关系。
　　三、“集合”角度处理问题
　　1. 对含“充分”“必要”题目的处理
　　例1不等式|x-m|＜1的一个充分条件是＜x＜，求m值。
　　解析：由题得相当条件p即＜x＜，q为m-1　　所以m-1≤m+1≥?圯-≤m≤。
　　点评：上面题目在分清条件和结论的前提下，从集合的角度，p，q分别对应的P，Q的关系即P?哿Q或Q?哿P，问题快速解决。
　　2. 对“充分”“必要”条件填空题的处理
　　例2 使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件为 ______。
　　分析：设所填部分为命题p，q:2x2-5x-3≥0 对于q，本质是说x/x或a≥3，由题目的条件知道p，q之间满足p?圯q且q?覩q。从集合的角度，若它们对应的集合分别为P，Q，则P是Q的真子集即可，则所填的内容不唯一，只要符合子集即可，故P={-1，-2，3，5}可行，p={x|x≤-1}，p={x|x≥3}等等均可。若换个说法，所填部分为“必要不充分条件”，同理可以解决，答案也不唯一；若所填内容为“充要条件”，则此时的答案应该唯一，因为P=Q。学生再遇到这种问题，如果能从“集合”的角度看问题，就可以把问题简单化，揭示问题的本质，从而轻松应对。
　　综上所述，对于单独的用“逻辑”不好理解的，换个我们熟悉的角度——“集合”，这种题型我们就会从根本上解决并应用自如。
　　（灌云县杨集中学）