巧用题目变形 拓宽学生思维

　　大千世界，到处都在发生或明显或隐蔽的运动与变化。迅速的变化令人目眩神迷，缓慢的变化让人不知不觉。但是，正如有些例子一样，在变化的过程中，常常有相对不变的东西……（引自《数学金刊》初中版2010年第2期），下面就《变形》问题中所蕴涵的数学思想作一个简单的梳理和回顾。
　　一、翻折问题
　　如图：△ABC是一个三角形纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点，如果沿直线DE折叠（图1），则∠BDA′与∠A的关系是___。
　　方法一：可以利用三角形的外角性质（∠BDA′=∠A+∠DA′E）得到；
　　方法二：利用四边形BDA′C的内角和为360°得到；
　　变式一：△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点，如果折成图2的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系。
　　分析：本题要找的三个角在位置上没有直接的关系，我们可以通过添加辅助线，连结AA′，利用三角形的外角性质，即在△DAA′和△EAA′中∠BDA′=∠DA′A+∠DAA′①，∠CEA′=∠EA′A+∠EAA′②，两个等式左右两边分别相加，可得∠BDA′+∠CEA′=（∠DA′A+∠DAA′）+（∠EA′A+∠EAA′）=2∠A。当然本题也可以不添加辅助线，直接利用四边形的内角和得到。
　　变式二：如果折成图1的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由。
　　分析：当点A′被折到CE的下方时，三个角同样没有直接的联系，这就要求学生有一定的空间想象能力，将目光锁定在局部，∠BDA′=∠DOA+∠A①，∠DOA=∠A′+∠CEA′②，把②代入①整理可得∠BDA′-∠CEA′=2∠A。
　　梳理和回顾：在完成前面三个题的基础上，教师引导学生总结：三个结论都与2∠A有关系，这是与翻折问题中的对应角相等是分不开的。
　　同时我们还可以引导学生探究，对于本题的条件，你认为还可以将∠A怎样折？有学生在前面的基础上提出还可以折向BA的右上方，此时我们希望学生自己作出图形，并且得出结论。有了前面三题做铺垫，学生就很容易完成了。而且还有部分学生想到，虽然图形与第三图不同，但本质是一样的，因此结论稍微改变即可。由此可见，这类变式题目对于学生的思维培养是非常有帮助的。
　　二、角平分线问题
　　题目原型：如图4，BP是∠ABC的角平分线，则∠ABP与∠PBC的关系是，∠BPC与∠A的大小关系是______，依据是什么？
　　分析：图4直接考角平分线的性质及外角的性质，几乎所有的学生都能完成；点P是△ABC内一点，∠BPC与∠A的大小关系是什么？
　　变式一：点P是∠ABC、∠ACB平分线的交点，则∠BPC与∠A的关系是什么？
　　变式二：点P是∠ABC平分线和∠ACB外角平分线的交点，则∠BPC与∠A的关系是什么？
　　变式三：点P是∠ABC与∠ACB两外角平分线的交点，此时∠BPC与∠A的关系是什么？
　　引申探究：
　　探究（1），在△ABC中，∠C=90°，点P是∠ABC的角平分线和∠BAC外角平分线的交点，则∠P的度数为_________。
　　探究（2），如右图，在△ABC和△D