基于神经网络的双小波混沌信号降噪

刘云侠，杨国诗

（淮南师范学院 电气信息工程系，安徽 淮南 232038）

基于神经网络的双小波混沌信号降噪

刘云侠，杨国诗

（淮南师范学院 电气信息工程系，安徽 淮南 232038）

根据信号和噪声的特性不同，提出了一种基于神经网络的双小波混沌信号降噪方法。该方法结合奇异谱和梯度下降算法，分别对小波变换后的近似部分和细节部分进行了分析。一方面，奇异谱分析更大程度地去除了代表噪声的较小奇异值；另一方面，神经网络对非线性阈值的自学习，实现了小波系数的自适应选取，提高了信号的定位精度。通过对Lorenz模型和月太阳黑子时序进行仿真，证实了本文所提方法能够对实际观测的混沌信号进行有效的降噪。

奇异谱分析；梯度下降算法；混沌信号；降噪

引言

近年来，由确定性系统产生的混沌现象在很多学科中得到了广泛的应用[1]。但是由于实际混沌信号一般附有噪声，噪声的普遍存在性掩盖了系统的内在动态特性，影响了混沌参数的计算以及变量的预测[2]，因此对实际观测的混沌信号进行有效的降噪具有重要的意义。

由于混沌信号具有功率宽带性和似噪声性，因此传统的线性滤波器降噪方法对其并不适用。小波分析[3，4]是近些年发展起来的一种新的时频分析方法，在时频域都有很强的表征信号局部特征的能力，但是基于小波的硬阈值方法的阈值函数不连续[5]，软阈值方法的通用阈值在应用中显得过大且存在恒定偏差[6，7]。

基于混沌本身的特性，本文提出了一种基于神经网络的双小波混沌信号降噪方法。该方法首先采用具有平移不变性的两个离散二带小波对含噪信号进行小波变换，然后对近似系数进行奇异谱分析，保留奇异值大的部分，并利用梯度下降算法对细节系数进行自适应选取，最后将处理后的近似系数和细节系数先取平均再重构就得到了降噪后的信号。同时，本文还多方面多角度地对降噪效果进行评判，以证明本文所提出的降噪方法对实际观测信号降噪的有效性。

1 基于神经网络的混沌信号降噪方法

针对小波在降噪领域存在的问题，结合奇异谱分析和梯度下降算法，研究了一种双小波混沌信号降噪方法。由于该方法选取的两个小波长度相同，性质相似，因此取平均时，能够起到强化信号局部性的作用，从而提高系统的性能。

1.1 具体实现

实际观测的混沌信号经过小波变换后，将被分解成近似部分和细节部分。近似部分一般由低频信号组成，而细节部分由高频噪声组成。通常将近似部分看成实际信号的一个近似，但是这样做一方面忽视了近似部分本身含有的噪声，另一方面丢失了细节部分含有的有用信息。因此，基于神经网络的双小波降噪方法分别对近似部分和细节部分进行了改进，具体分析如下。

（1）对双小波变换后的近似部分进行SSA分析，主要是对其进行奇异值分解，保留代表真实信号的较大的奇异值，具体算法如下。

设在L2（R）空间内，含噪混沌信号为：

其中 x（t）表示真实信号，η（t）表示高斯白噪声。

首先，取两个离散小波 ψ1（n）和 ψ2（n），并分别对实际观测的混沌信号进行变换，可得小波变换后的近似部分 aqj（n）和细节部分 dqj（n）。 其中，j=1，2，…，J表示分解尺度，q=1，2。

然后，计算近似部分aqj（n）的延时协变矩阵，即：

（2）利用梯度下降算法对双小波变换后的细节部分进行分析，主要是结合神经网络对非线性阈值进行自学习，自适应地选取小波细节系数，具体算法如下。

假设实际观测信号小波变换的分解尺度为J，那么可得重构信号为：

根据梯度下降法调整θqj和Sqj，当RMSE达到最小时，就实现了小波细节系数的自适应选取。

然后，对分析后的两个小波变换细节部分取平均可得：

1.2 降噪效果评价准则

对不同降噪方法的降噪效果进行评判时，本文主要从两个方面进行分析。

（1）对已知模型的混沌信号，从信噪比(SNR)和均方根误差(RMSE)两方面进行分析，其公式分别如下：

混沌序列的递归图由一些和对角线平行的带构成，且在对角线两边对称相等，而噪声序列的递归图几乎是杂乱无章的；同时，递归图本身有很多定量分析指标(RQA)，能从不同角度评判降噪效果。

2 仿真分析

为验证本文方法的有效性，分别以加高斯白噪声的Lorenz信号和观测的月太阳黑子混沌信号为研究对象，并对其进行降噪，仿真结果及分析如下。

2.1 Lorenz混沌时序降噪

当 σ=10，r=28，b=8/3时，系统处于混沌状态。

首先，选取两个离散二带小波db8和db10，并对其进行3尺度的小波变换，然后分别利用小波软阈值降噪方法、基本的单小波降噪方法和本文所提出的降噪方法对加噪20%的Lorenz信号降噪，降噪前后系统的信噪比和均方根误差对比如表1所示。

通过表1可以看出，与小波软阈值和基本的单小波降噪方法相比，本文降噪方法的降噪效果更好，在保持信号动态特性和整体平滑性的同时，提高了系统的信噪比和增益参数，降低了系统的均方根误差。

表1 SNR和RMSE的比较结果

2.2 月太阳黑子信号降噪

太阳黑子是缓变的太阳活动现象，直接影响地球气候、水文等现象的变化，因此对其研究具有重要的意义。近年来，随着混沌理论和分形技术的发展，关于太阳黑子混沌特性的研究也日益增多[10]。由于实际观测的太阳黑子数总是混有一定程度的噪声，因此需要对其进行有效的降噪。

选取1756年1月到2005年12月共3000个月太阳黑子数据为研究对象，分别利用小波软阈值方法、单小波方法和本文降噪方法对其进行降噪，降噪前后的时序图如图1所示。

图1 太阳黑子降噪前后的时序图

通过对比降噪前后的时序图可以看出，本文提出的降噪方法能够对实际观测的月太阳黑子进行有效的降噪，在保持系统整体平滑性的同时，显现了太阳黑子的内在动态特性。

为了进一步验证降噪方法的优劣，下面分别从自相关函数和递归图两方面进行分析。

首先，进行自相关函数分析。降噪前后月太阳黑子以及去除噪声的自相关函数值如图2所示：

图2 自相关函数图

通过图2可以看出，本文降噪方法降噪后序列的自相关函数值要更大，远大于去除噪声时序的自相关函数值，因此本文所提方法去除了大部分噪声，从而进一步反映出其对月太阳黑子时序降噪的优越性能。

其次，从递归图方面进行分析。选取1973年1月到2005年12月共33年396个月太阳黑子数据，相当于3个太阳黑子周期。当嵌入维数m=5，延迟时间と=1，空间两点之间的距离r=5时，降噪前后的递归图如图3所示。降噪前后递归图的定量指标分析如表2所示。

图3 降噪前后太阳黑子时序的递归图

表2 太阳黑子递归图的定量分析指标

其中：RR表示递归度，指递归图中点的比例；Lmax表示递归图中除了主对角线以外最长对角线的长度；RT表示递归趋势，指在递归图上从主对角线向边角过渡的递归度变化速率。

从降噪前后的递归图及其定量分析指标可以看出，本文所提方法降噪后的递归图比降噪前更加有规律，而且聚集度更大，确定性和稳定性更强，对初始状态的敏感性更低；从图3还可以得到，对角线两侧轨迹的递归周期大约为3，符合所取太阳黑子数据的周期；从侧面反映了本文所提方法降噪效果的有效性。

3 结论

基于小波变换理论，本文提出了一种基于神经网络的混沌信号降噪方法。该方法结合奇异谱分析，在更大程度上保留了实际信号中的有用信息，同时利用神经网络的梯度下降法对双小波变换后的细节系数进行分析，自适应地选取了细节系数，进一步降低了噪声。通过对Lorenz模型以及实际观测的月太阳黑子进行仿真分析，证明了该方法的有效性以及优越性能。

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TN911

A

1009-9530（2011）05-0027-04

2010-12-25

淮南师范学院青年教师科研资助项目（2010QNL15）；安徽省省级自然科学研究项目（KJ2011Z349）；安徽省高校自然科学研究重点项目（KJ2011A256）

刘云侠（1983-），女，山东临沂人，淮南师范学院电气信息工程系教师。