中立型多延迟微分方程Runge-Kutta方法的散逸性

王素霞，平静水

（淮南师范学院 数学与计算科学系，安徽 淮南 232038）

中立型多延迟微分方程Runge-Kutta方法的散逸性

王素霞，平静水

（淮南师范学院 数学与计算科学系，安徽 淮南 232038）

研究了中立型多延迟微分方程Runge-Kutta方法的散逸性，给出了Runge-Kutta方法的数值散逸性结果，此结果表明所考虑的数值方法继承了方程本身的散逸性。

中立型多延迟微分方程；Runge-Kutta方法；散逸性

引言

微分方程具有散逸性是指，该系统具有一有界吸引集，从任意初始条件出发的解经过有限时间后进入该吸引集并随后保持在里面。当用数值方法求解具有散逸性的系统时，自然希望数值方法能够保持这种特性。1994年，Humphries和Stuart[1]首次研究了Runge-Kutta方法对有限维系统的散逸性。2000年，肖爱国[2]研究了Hilbert空间中散逸动力系统一般线性方法的散逸性。同年，黄乘明等[3-5]将该研究扩展到延迟动力系统，获得了Runge-Kutta方法、线性θ-方法、单支方法的散逸性结果。最近，文立平，王素霞等[6]研究了中立型延迟积分微分方程Runge-Kutta方法的散逸性。2010年，王素霞等[7]研究了中立型多延迟微分方程θ-方法的散逸性。本文研究中立型多延迟微分方程Runge-Kutta方法的散逸性，进一步完善和推广已有的关于中立型延迟系统的散逸性结果。

1 中立型多延迟微分方程的Runge-Kutta方法

考虑中立型多延迟微分方程初值问题：

其中 τ1，τ2为常量，N∈C是常矩阵，且‖N‖＜1，

这里〈·〉是Cd中的内积，‖·‖是相应的内积范数，α（t），β1（t），β2（t），γ（t）是已知的定义在区间[0，+∞]上的有界连续函数。

命题 1 若函数 f满足（2），则 γ（t）≥0，∀t≥0。

定义1 称问题（1）在集合Cd上是散逸的，如果存在一个有界集B⊂Cd使得对任意的有界集Φ⊂Cd都存在时刻 t0=t0（Φ），当 t≥t0时，只要初值函数φ∈Φ，相应的解y（t）∈B。B称为H中的一个吸引集。

定理 1[7]若 y（t）是问题（1）的解，且满足条件（2）， 若存在常数 α0，α1，β1，β2，γ0使得对∀t≥0 有α1≤α（t）≤α0≤0，0≤β1（t）≤β1，0≤β2（t）≤β2，γ（t）≤γ0，且

则问题（1）是散逸的。这里 τ=max（τ1，τ2），τ~=min（τ1，τ2）。

考虑 s级 Runge-Kutta 方法，用（A，b，c）表示，当它用于求解问题（1）时表示如下

[1]A.R.Humphries，A.M.Stuart.Runge-Kutta methods for dissipative and gradient dynamical systems[J].SIAM J.Numer.Anal.， 1994，（31）：1452-1485

[2]肖爱国.Hilbert空间中散逸动力系统一般线性方法的散逸稳定性[J].计算数学，2000，22（4）：501-506

[3]C.Huang.Dissipativity of Runge-Kutta methods for dynamical systems with delays[J].IMA J.Numer.Anal.，2000，（20）：153-166

[4]黄乘明，陈光南.延迟动力系统线性 -方法的散逸性[J].计算数学，2000，22 （4）：501-506

[5]C.Huang.Dissipativity of one-leg methods for dynamical systems with delays[J].Appl.Numer.Math.，2000，（35）：11-22

[6]L.Wen，S.Wang，Y.Yu.Dissipativity of Runge-Kutta methods for neutral delay integro-differenti al equations[J].Applied Mathematics and Computation，2009，215（2）：583-590

[7]王素霞等.中立型多延迟微分方程θ-方法的散逸性[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2010，16（4）：7-11

Dissipativity of Runge-Kutta methods for neutral multi-delay differential equations

WANG Su-xia，PING Jing-shui

This paper concerns with the dissipativity of Runge-Kutta methods for neutral multi-delay differential equations.The dissipativity result is given for Runge-Kutta methods.The result shows that the numerical methods inherit the dissipativity of the equations.

neutral multi-delay differential equations；Runge-Kutta methods； dissipativity

O241.81

A

1009-9530（2011）05-0014-03

2011-01-20

淮南师范学院青年教师科研资助项目（2010QNL04）

王素霞（1982-），女，河南周口人，淮南师范学院数学与计算科学系助教，硕士，研究方向：微分方程数值解。