参量化的Hilbert型积分不等式

陈广生

(广西现代职业技术学院计算机工程系,广西河池,547000)

参量化的Hilbert型积分不等式

陈广生

(广西现代职业技术学院计算机工程系,广西河池,547000)

通过应用权函数方法和实分析技巧,给出一个推广的具有最佳常数因子的Hilbert型积分不等式.作为应用,考虑了它的等价形式及一些特殊结果.

Hilbert型积分不等式;权函数;等价式;最佳常数因子

1 引言

近年来,杨必成等人对这类不等式陆续作了推广[3-8].文献[3]引入单参量及两对共轭指数(p,q),(r,s),将不等式(1)和(2)推广为如下形式:设则有如下等价式:

最近,文献[9]给出了类似于式(3)、(4)的核为一般齐次函数的如下等价式:

这里,常数因子kλ(r)与[kλ(r)]p都为最佳值.本文通过估算权函数,给出式(5)的一个新的推广.作为应用,建立其等价式及一些特殊结果.

2 主要结果

则有

证明 固定x,在式(7)的积分作变换u=x/y 得

则式(8)为真.同理可得

这里,常数因子kλ(r)是最佳值.

证明:由Holder不等式[10],有

若式(12)取等号,则由Holder不等式等号成立的条件,有不全为0的常数a和b使得

再由式(8)、(10)可得式(11).

若式(11)中的常数因子kλ(r)不是最佳的,则有正数K(K＜kλ(r)),使得K代替kλ(r)后,式(11)仍成立.特别地,有

联系式(13),在下面的内积分中作变换u=y/x,由Fubini定理[11],有

根据式(13)和(14),有

由式(15)及Fatou引理[11]得

故K=kλ(r)为最佳值

这里,常数因子[kλ(r)]p是最佳值;不等式(11)与(17)等价.

因而有

由式(11)知,式(18)及(19)都取严格不等号,故有式(17).

反之,设式(17)为真,由Holder不等式,有

因此,由式(17),有式(11),故式(11)与(17)式等价.

若式(17)的常数因子[kλ(r)]p不是最佳值,则可得式(11)的常数因子也不是最佳值,矛盾.因此式(17)的常数因子是最佳值.

当t=0时,由式(11)和(17)可以导出式(5)和(6),因此.式(11)和(17)是式(5)和(6)的推广.

当r=p,s=q及t=0时,由(15)和(17)可以导出:

这里,常数因子kλ(p),[kλ(p)]p是最佳值.

当r=q,s=p及t=0时,由(19)和(21)可以导出:

这里,常数因子k(q)[k(q)]p都是最佳值.λλ

当r=q,s=p及t=1时,由(15)和(17)可以导出:

[1]Hardy G H.Little wood J E.Polya G.Inequalities[M].Cambridge:Cambridge Urav.Press.1952.

[2]Mitrinovic D S,Pecaric J E,Fink A M.Inequalities involving functions and their integrals and derivatives[M].Boston:Kluwer Academic Publishers,1991.

[3]YANG Bi-cheng.On an extension of Hilbert’s integral inequality with some parameters[J].Analysis and Applications,2004,1(1):1-8.

[4]杨必成.一个新的含参数的Hilbert型积分不等式[J].河南大学学报:自然科学版,2005,35(4):4-8.

[5]杨必成.关于一个推广的具有最佳常数因子的Hilbert类不等式及其应用[J].数学研究评论,2005,25(2):341-346

[6]Xie Z T,Zeng Z.A Hilbert-type integral inequality whose kernel is a homogeneous form of degree一3[J].Math Anal.Appl.,2008(339):324-331.

[7]杨必成.一个零齐次核的Hilbert到积分不等式及逆式[J].西南大学学报(自然科学版),2009,31(10):143-148

[8]陈广生,丁宣浩.一个Hilbert型积分不等式的最佳推广[J].重庆文理学院学报(自然科学版),2010,29(4):5-7.

[9]杨必成.算子范数与Hilbert型不等式[M].北京:科学出版社,2009.

[10]匡继昌.常用不等式[M].济南:山东科学技术出版社,2004.

[11]匡继昌.实分析引论[M].长沙:湖南教育出版社1996.

A Hilbert’s Type Integral Inequality with Some Parameters

CHEN Guang-sheng

(Department of Computer Engineering,Guangxi Modern Vocational Technology College,Hechi 547000,China)

In the papers,by using weight function and the method of real analysis,we give a generalization of Hilbert’s type integral inequality with a best constant factor.As applications,we consider its equivalent for ms and some particular results.

Hilbert’s type integral inequality;weight function;Equivalent for m;Best constant factor

O178

A

1008-9128(2011)02-0023-04

2010-12-15

陈广生(1979-),男,广西北流人,讲师,硕士。研究方向:不等式等研究。

[责任编辑 张灿邦]