从数学文化的角度谈高等数学的教学

甄新武, 冀德刚

（河北农业大学 理学院,河北 保定 071001）

从数学文化的角度谈高等数学的教学

甄新武, 冀德刚

（河北农业大学 理学院,河北 保定 071001）

为了促进非数学专业的高等数学教学,提高学生的数学素养,应在高等数学教学中融入数学文化教学。数学文化在教学中的实施,应强调点滴渗透的原则,通过较熟悉的知识内容剖析、典型例题的讲解、不同教学方法的运用、对数学美的认识、应用能力的培养等具体措施,使数学文化融入教学之中,有效地促进高等数学的教与学。

数学文化;高等数学;教学方法;数学美;应用能力

在已知的文献中,张彦春在《大学与中学数学的衔接教育研究》中,从心理学的角度及教法和学法的变化上进行了说明;刘立国在《高等数学与中学数学的教学衔接》中,论述了高中和大学数学教学的差别;叶飞在《论中学与大学数学教学的衔接问题》中,论述了三个转化、三个能力、突破三个关口等;从这些学者的论述中知道高等数学教学处在了一个重要的衔接关口。周鸿、刘银萍等学者从不同的角度,理论上论述了数学文化与素质教育、数学文化与数学教育的重要关系。而在如何运用数学文化来推动数学教学方面缺少说明。

《普通高中数学课程标准》已明确提出:“高中数学课程提倡体现数学的文化价值,并在适当的内容中提出对‘数学文化’的要求”[1]。因此,无论从中学和大学数学教学衔接,还是从数学文化与数学教育的重要性出发,把数学的文化价值渗透到课程内容中,能促进学生对数学的理解和学习数学的热情,及对促进数学教学的改革有着重要意义。

本文主要针对非数学专业的大学数学教学,通过5个方面,积极渗透数学文化,来提高学生的理性认识、学习热情、审美能力和应用能力,从而有效地促进高等数学教学。

一、关于“数学文化”

数学作为一种文化现象历来受到人们的重视,但数学文化作为一种特殊的文化形态,直到20世纪下半叶才由美国著名的数学史学家倪莱因在其3本力作《西方文化中的数学》、《古今数学思想》和《数学一确定性的丧失》中从人类文化发展史的角度进行了比较系统而深刻的阐述。美国学者怀尔德在其1981年著作《数学是一个文化体系》中提到数学文化的发展已经达到了一个较高的水平并被认为构成了一个相对独立的文化系统。而在中国,关于“数学文化”一词也是近年来才备受关注。据张奠宙在《数学文化》一文里记载“国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼。她和邓东皋等合编的《数学与文化》,汇集了一些数学名家的有关论述,也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考”。该书是1990年第一次印刷,也就是说大约在十几年前,国内出现了数学文化一词,并于近几年得到了越来越多的关注。与此相关的一些著作,还有齐民友的《数学与文化》、张顺燕的《数学的源与流》、郑毓信等出版的专著《数学文化学》等[2]。

张奠宙在《数学文化》一文中认为,数学是一种文化现象,并从数学和文学、数学与语言、数学和美学等方面加以阐释,“数学和文学的思考方法往往是相通的”,“语言是文化的载体和外壳,数学的一种文化表现形式,就是把数学溶入语言之中”。南开大学教授顾沛曾谈到数学文化的解释,也有狭义和广义之分。狭义的是指数学的思想、精神、方法、观点、语言以及它们的形成和发展;广义的解释是除这些之外,还包含数学史、数学美、数学教育、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系。

数学文化的内容是广泛的、博大的、精深的,数学文化所蕴含的教育意义是丰富而巨大的。数学文化的教育功能主要体现在:帮助学生形成正确的数学观;发展学生的理性思维;培养学生的应用意识;提升学生对美的鉴赏能力[3]。

二、数学文化在教学中使用原则

数学作为一种文化自觉或不自觉的应该早就进入了课堂,但进入课堂的程度,教师对数学文化作用的认识和重视的程度,总的来看都比较低,主动进行数学文化教学的教师,研究数学文化并在教学中运用的较少。因此,关于如何使数学文化在教学中体现的课题值得我们认真思考[4]。苟长义谈到数学文化在文科教学中的融入五原则:数学文化在教学中不是点缀的,而是整体的;不是附着的,而是有机的;不是铺天盖地的,而是恰如其分的;不是牵强附会的,而是水到渠成的;不是长篇大论的,而是画龙点睛的[5]。因此,在教学中,数学文化的传播应遵从苟长义先生的五原则,同时更要注意数学文化需要点滴渗透的原则,而不是专题讲座。

点滴渗透的原则是有数学文化的特点决定的。数学课程标准研制组认为数学文化是指“在数学的起源、发展、完善和应用的过程中体现出来的对于人类发展具有重大影响的方面,它既包括人的观念、思想和思维方式的一种潜移默化的作用……也包括人类在认识和发展数学的过程中体现出来的探索和进取精神和所能达到的崇高境界等等”[6]。可以看出数学文化不同于传统意义上的数学科学,它具有崭新的内涵。数学文化主要是研究思维结构、认识方式 ,而不是知识体系。可见,数学文化不是数学本身,它是从思想、意义和价值层面对数学知识的考量。所以,数学文化的传授应坚持以数学知识为载体、点滴渗透的原则。

三、数学文化在教学中的实施

数学教学需要充满活力,需要激励学生的学习热情。数学文化在数学教学中,能起到激励学生学习兴趣的作用,并对提高学生的综合素质有积极的推动作用。在高等数学教学中可从以下几个方面加强数学文化的渗透教学。

（一）通过较熟悉的知识内容,促进数学文化的渗透

大学和中学的数学内容有很多重叠部分,但是,教学的侧重点不一样。如:极限、导数和微积分等在中学已有所学习。在中学的极限学习中,缺乏严格的定义和逻辑关系,侧重的是一种计算方法,从有限的角度渗透极限的思想。在大学数学教学中,给出了严格的定义和严谨的逻辑关系,不仅使我们感受到极限的思想,同时,也包含了一种哲理。在大学数学教学中,对极限的讲解引入了ε-δ（N）语言,通过变化ε的有限取值。来确定不同的δ（N）的取值,这样通过ε的取值,使学生理解ε的确定性,随着ε的变化,又可以理解ε的任意性,更进一步地认识到通过“有限”来理解“无限”的深刻含义。在教学中,还可以通过“无限”来理解“有限”。如函数 f（x）的泰勒展开式: f（x+h）=f（x）+f’（x）h+……。左边是有限形式,右边是无限形式,由 f（x）来计算 f（x+h）,正是通过等式右边每一个已知项,在无限的过程中来计算左边 f（x+h）的。通过对概念、定理的讲解,使学生理解“有限和无限”的关系,进一步认识到高等数学的学习主要是建立在极限的基础上,利用有限和无限的哲学思想,来学习微积分的内容,进一步体会数学的理性精神。

在课堂讲解后,可以留一些与极限思想相关的思考题。如:理解“一尺之棰,日取其半,万世不竭”;“成立吗?”通过课后的一些趣味思考题,有助于学生对所学知识点的理解,也有助于促进学生对平时一些问题的思考、提高学生的学习能力。

（二）通过典型例题,进行数学文化的渗透

在微积分的学习中,有两个典型的引例:曲边梯形的面积和变速直线运动的路程。在这两个例题的讲解中,通过“切割划分——近似代替——求和——取极限”四步,淋漓尽致地展现了“有限和无限”的关系,还可就此例题说明微积分的创始人莱布尼兹和牛顿对微积分的创立过程,求曲边梯形的面积,反映了莱布尼兹从几何角度入手的研究方法;计算变速直线运动的路程,反映了牛顿从运动变化的角度入手的研究方法。展现了莱布尼兹和牛顿研究微积分的不同视角,更展现了数学知识的发现过程。在教学中讲解一点名人的历史及研究问题的方法,使学生对知识的背景多一些理解,有助于使学生体会和领略到前人思维的过程,有利于提高学生的学习兴趣,对培养学生的创新思维,增强学生的信心有极大帮助[7]。

（三）通过数学方法的教与学,渗透数学文化

数学思想和方法是数学的灵魂,是数学文化的核心。一个好的思想和方法可以引申到若干领域。Abel说:“在我看来,一个人如果在数学上有所进步,他必须向大师们学习,而不应向徒弟们学习”。要向大师们学习数学研究中的思想和方法,探索数学规律与证明的方法,从而提高解决问题与分析问题的能力。

数学思想与方法在数学学习中已经广泛的接触到,如一般到特殊、类比、归纳、逆向思维等,但学生对很多方法了解的不够深入,使数学学习当成了益智测试,影响学生的学习兴趣,学生学习的主动性得不到提高。在教学中应重视数学思想和方法的传授,而不是就题论题,既给学生鱼,也要给学生渔。这样学生的兴趣、热情自然就提高了。

利用类比促进学生的学习热情,如在学习空间解析几何时,利用平面解析几何的两点间距离公式、直线方程的一般式、截距式,类比得到空间解析几何的两点间距离公式、平面方程的一般式、截距式。这样一个从二维空间到三维空间类比,得到了正确的结论;同时,也激起学生们的学习热情,尽力完成结论的推理证明,极大地调动学生们探索学习的积极性。再如学习二元函数的微分学和积分学时,可以通过类比一元函数的微分学和积分学,得到二元函数的微分学和积分学。当然在类比时,注意求同存异。如:一元函数的极限,x→x0时,可理解为是数在数轴上的运动变化;二元函数的极限,（x,y）→（x0,y0）时,可理解为是点在坐标平面上运动变化;同样这也是一个从一维向二维的类比,使学生对二元函数的微积分从本质上有更深的理解,更重要的是使学生掌握了一种分析问题的方法,理解数学的灵魂。

利用归纳的方法激起学生的求知欲。例如,求一元函数的n阶导数、两个一元函数乘积的n阶导数公式、n阶常系数线性微分方程通解的结构等,通过有限次的归纳得出一般性的结论,通过对结论的质疑,进一步的激起对结论论证的兴趣。其实,不仅在数学里,在生活生产实践中,也经常使用类比、归纳等数学方法,这不仅是数学思想和方法的应用,这也是数学文化的体现。

（四）通过数学之美,渗透数学文化

罗素有一句名言:“数学,如果正确的看,不仅拥有真理,而且也拥有至高的美”。数学美有符号美、抽象美、统一美、和谐美、对称美、奇异美等多个方面。人类是按照美学规律去改造世界的,追求完美的数学境界是数学文化的一个特点。

（五）通过培养应用能力,渗透数学文化

由于数学越来越高度的抽象,使得很多人还不能很好地认识数学的应用价值,对数学的认识,还停留在算术的基础上。因此,在教学中,可以通过实际问题,从思考问题的方法,到解决问题的知识,培养学生的应用能力,来体现数学文化。

如利用变化率及相对变化率,解决边际函数中的一些盈余问题、弹性问题等。由此提出一些实际问题,来考查学生的应用能力。如“征税的学问”的问题,即工厂要盈利,政府要征税,一个怎样的税率才合适呢?通过总收益函数与总成本函数建立数学模型,结合具体的例子,确定出税率。这不仅加深了对变化率及相对变化率理解,更重要的是提高学生对数学的重要性的认识。数学应用的例子很多,如回归分析中的预测和控制等,都能很好提高学生的学习兴趣,加深其对数学应用性的理解,从而使数学教学在应用中增强活力。

四、总结

大学数学教学不仅要传授知识,更重要的还要提高人的素质,增强对数学文化的理解。从文化的角度可知,大学数学教学从事的是一种文化活动,在教学中渗透数学文化,可以较好的丰富课堂内容,提高学生对数学内涵的理解,对数学美的认识,提高学生的应用能力等。

在教学中,还应与当地的社会环境、文化背景相协调[8],使数学教学成为大众文化普及的一种,使数学教学充满生机,使数学学习充满乐趣,使数学学习成为“大众数学”,使数学学习从以知识为主要目标转变为对数学文化本质的认识为目标。

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京:人民教育出版社,2003.4.

[2] 陈晓坤.大学数学教学中加强文化教育的思考[J].教学理论与实践.2005,11（11）:60.

[3] 张玉华.数学文化教育的认识与实践[D].四川:四川师范大学数学与软件科学学院,2006.

[4] 王连笑.用数学文化推动数学教学[J].天津教育,2005 （6）:29-30.

[5] 苟长义.以数学文化的融入改进文科数学教学[J].数学教育学报,2008,17（6）:5-7.

[6] 数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准（实验）解读[M].南京:江苏教育出版社,2004.288.

[7] 周永务.关于在大学数学中培养创新型人才的一些思考与体会[J].大学数学,19（2）:29-30.

[8] 刘银萍.数学文化对数学教育的启示[J].大学数学, 2008,19（6）:23.

On the teaching of advanced mathematics from the perspective of mathematical culture

ZHEN Xin-wu,JIDe-gang

（College of Science,Agricultural University of Hebei,Baoding,071001）

M athematical culture should be mixed into the teaching of advanced mathematics so as to promo te the teaching of this course fo r the non-maths majo rs and to improve the students’mathematical quality.W hen app lying mathematical culture in teaching,we should emphasize the princip le of infiltration and mix the culture into teaching by specific measures such as analyzing familiar know ledge,illustrating typical examp les,app lying different teaching methods,realizing the aesthetics of maths and cultivating their app lication ability,thus to improve the teaching and study of advanced mathematics effectively.

mathematical culture;advanced mathematics;teaching methods;the beauty of mathematics;app lication ability

G 642

A

1008-6927（2011）01-0079-04

2010-10-29

甄新武（1969-）,男,河北保定人,硕士,主要从事数学学科教育教学研究。

（编辑:潘秀华）