Matlab辅助系统零极点图解分析

琚新刚,董 乐

(1.河南教育学院电路与系统重点学科组,河南郑州450046;2.郑州文理学院教务处,河南郑州 450052)

Matlab辅助系统零极点图解分析

琚新刚1,董 乐2

(1.河南教育学院电路与系统重点学科组,河南郑州450046;2.郑州文理学院教务处,河南郑州 450052)

线性相移不变系统的稳定性及频率特性是系统分析时的主要关注点,而利用Matlab绘出系统的零极点图,赋以z平面的单位圆,可以实现对系统稳定性和幅频及相频特性的直观判断,还可进一步绘出系统的频谱以验证判断结果的正确性.

零极点;频率特性;图解分析;Matlab

系统可以由系统函数及其收敛域来表示,而系统函数完全由它的全部零点极点来确定[1],以离散系统为例,即可用z平面上的零极点图描述系统函数.Matlab既有的函数zplane可被用以画出系统函数的零极点图[2],而离散系统频率响应的运算,就是对系统函数在单位圆上的求值.用系统函数表示一个离散系统,其一般形式是

其中,分子多项式的根就是系统的零点,分母多项式的根就是系统的极点.分子分母各进行因式分解,得到

其中,zz1、zz2、…、zzk是系统的零点,zp1、zp2、…、zpk是系统的极点.分子分母中的每一个因子都是两个复数的差,而每一个差对应z平面上的一个矢量.分子中的每个因式即函数零点zzi指向复数z的矢量;分母中的每个因式即函数极点zpi指向复数z的矢量.

离散系统的频率响应等于它的系统函数在单位圆上的求值,因此在计算系统频率响应时,式(2)中的z只能是单位圆上的值,故可由式(2)得到

其中,Ω为输入信号的归一化频率.

式(3)中的因式(矢量)用极坐标的形式表示,得

其中,d1、d2、…、dk,c1、c2、…、cm是各矢量的模,θ1、θ2、…、θk,φ1、φ2、…、φm是各矢量的幅角,b0是系统增益.

其中,(m-k)Ω是由式(2)中的纯延迟zm-k产生的相移,而且是相频响应中的线性相移部分[3].

可见,输入信号频率从零渐增到折叠频率,相当于几何上一个复数点z从z=1沿单位圆周走过上半圆.与此同时,从所有零极点指向这个移动的复数点的矢量就可以用来计算离散系统的频率响应[4].频率响应中的幅频响应可以用式(5)来计算,即所有零点矢量长度(包括b0)之积与所有极点矢量长度之积的比值;而相频响应可以用式(6)来计算,即所有零点矢量幅角(包括(m-k)Ω)之和与所有极点矢量幅角之和的差值.

系统零点只有一个zz=0,系统极点是zp=0.6,在正实轴上.

系统极点在单位圆内,如图1所示,可得到系统稳定的结论.当信号频率较高时,对应的矢量的模较大,促使增益变小,反之则对应的矢量的模较小,促使增益变大,所以系统具有低通特性.

系统零点在原点,只对相频特性产生影响,不影响系统的幅频特性[5].

如图1,选择3个关键频率点:零频、1/2折叠频率、折叠频率,分别对应的归一化频率Ω为0、π/2、π.

Ω=0时,信号为直流,z1=ej0=1,从极点zp指向z1的矢量长度为0.4,幅角为0.故此极点使直流信号的幅度增大到原来的1/0.4=2.5倍;不改变直流信号的相位.

Ω=π/2时,信号频率为折叠频率的一半,z走到z2的位置,极点对应的矢量长度为幅角为arctan(1/0.6)≈120.96°;零点对应的矢量幅角为90°,信号的幅度将为原来的1/1.17≈0.86,相位延迟120.96°-90°= 30.96°,约为0.172π.

Ω=π时,信号频率为折叠频率,z走到z的位置,极点对应的矢量长度为1.6,幅角为180°;零点对应的矢量幅角也为

3180°,信号的幅度将为原来的1/1.6=0.625,信号的相位不变.

以上图解分析结果可与系统的频率响应对应验证,如图2所示.

可见,做出系统零极点图,根据零极点所处位置,可以直观地得出系统稳定性判断和其频率特性,简便易行.同时也可以得到结论,针对不同频率特性的系统设计要求,可以通过先定下系统零极点位置,进而得到系统的差分方程的途径来实现.

[1] 程佩青.数字信号处理教程[M].3版.北京:清华大学出版社,2007:86-91.

[2] INGLE V K,PORAKIS J G.数字信号处理[M].刘树棠,译.2版.西安:西安交通大学出版社,2008:84-87.

[3] 姚剑清.简明数字信号处理[M].北京:人民邮电出版社,2009:71-74.

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[5] 郑君里,应启珩,杨为理.信号与系统下册[M].2版.北京:高等教育出版社,2000:96-99.

Matlab Auxil iary Pole-Zero D iagram Analysis of System

JU Xin-gang1,DONG Le2

(1.Group of Circuits and Systems Key D iscipline,Henan Institute of Education,Zhengzhou450046,China; 2.Academ ic Adm inistration,Zhengzhou University of A rts and Sciences,Zhengzhou450052,China)

The stability and frequency characteristic of a linear shift invariant system aremain concerns,while using Matlab mapping pole-zero map,assigned to unit circle inzplane,can achieve intuitive judgments on stability of system frequency and amplitude phase frequency characteristics.Further,the spectrum can be drawn to deter mine validity of judgment results.

pole-zero;frequency characteristic;graphic analysis;Matlab

TP391.9

A

1007-0834(2011)01-0026-02

10.3969/j.issn/1007-0834.2011.01.009

2010-12-02

河南省教育厅科技攻关项目(2009A510003);郑州市科技攻关项目(10PTGG379-1)

琚新刚(1973—),男,河南辉县人,河南教育学院电路与系统重点学科组副教授,主要研究方向:EDA技术.