锥度量空间中扩张映象的不动点定理

史晓棠，谷 峰

（杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036）

锥度量空间中扩张映象的不动点定理

史晓棠，谷 峰＊

（杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036）

研究了完备的锥度量空间中不要求锥的正则性条件下扩张型映象不动点的存在性和唯一性问题，对满足不同条件的扩张型映象，采用不同的迭代方法，得到一些新的结果.这些结论推广了近期的一些结果以及度量空间中的经典定理.

锥度量空间；扩张映射；不动点

众所周知，非线性算子不动点的存在性和唯一性问题是非线性分析研究中的重要课题之一，而且不动点理论广泛地应用于非线性积分方程和微分方程中[1－6].2006年，Huang和Zhang[7]定义了锥度量空间，它是度量空间的一个推广，并在完备的锥度量空间中，证明了Banach空间压缩映象原理成立.随后，文献[8-21]在锥度量空间中推广了文[7]中的结果.2010年，杨云苏等[22]在锥度量空间中，在假定锥是正则锥的条件下证明了几类扩张型映象不动点定理.该文在完备的锥度量空间中，在不要求锥的正则性条件下，研究两类扩张型映射不动点问题，得到了两个新结果.这两个结果是朱辅正[23]的相关结果在锥度量空间中的进一步推广.

1 预备知识

定义1 设E是一个实Banach空间，P是E中的一个子集，称P是一个锥，如果

a）P是非空闭凸集且P≠｛θ｝，其中θ是E的零元素；

b）若λ≥0且x∈P，则λx∈P；

c）x∈P且－x∈P，则x＝θ.

设P是E中的锥，“≤”是由P所定义的半序，定义如下：若y－x∈P，则x≤y.用x≪y表示y－x∈int P（P的内点集）.

定义2 锥P称为是正规的，若存在常数N＞0，使当θ≤x≤y时，恒有‖x‖≤N‖y‖.

定义3 令X是一个非空集，如果映射d：X×X→E满足

1）θ≤d（x，y）对一切x，y∈X；d（x，y）＝θ当且仅当x＝y；

2）d（x，y）＝d（y，x），∀x，y∈X；

3）d（x，y）≤d（x，z）＋d（z，y），∀x，y，z∈X.则称d是X中的一个锥度量.而（X，d）称为锥度量空间，它是一般锥度量空间的推广.

令（X，d）是一个锥度量空间，｛xn｝⊂X，

4）称｛xn｝是一个Cauchy列，若对每一个c∈E且c≫θ，存在正整数K使得对所有的n，m＞K有d（xn，xm）≪c；

5）称｛xn｝是一个收敛列，若对每一个c∈E且c≫θ，存在正整数L使得对所有的n＞L有d（xn，x）≪c，其中x∈X.这时称x是｛xn｝的极限，记作xn→x（n→ ∞）或

锥度量空间（X，d）称为完备的，是指对X中的每一个Cauchy列在X中收敛.

定义4 设（X，d）是一个锥度量空间，T：X→X，x0∈X.称T在x0点连续，如果对任意｛xn｝∈X，xn→x0（n→∞），有Txn→Tx0（n→∞）.如果T在X 中每一点都连续，则称T在X 上连续.

引理1[10]锥度量空间中收敛序列的极限是唯一的.

引理2[11]设（X，d）是一个锥度量空间，E是一个Banach空间，P⊂E是一个锥，int P≠Ø.设｛xn｝是X中的序列，则有

a）xn→x0当且仅当d（xn，x0）→θ（n→ ∞）；

b）xn是Cauchy列当且仅当d（xn，xm）→θ（n，m → ∞）.

引理3 设（X，d）是一个锥度量空间，E是一个Banach空间，P⊂E是一个锥，int P≠Ø.设｛xn｝与｛yn｝是X 中的两个序列，且xn→x0，yn→y0（n→ ∞），则d（xn，yn）→d（x0，y0）（n→ ∞）.

证明 由三角不等式可得

引理4[12]设（X，d）是一个锥度量空间，｛xn｝是X 中的序列，如果存在常数h∈ [0，1），满足d（xn，xn＋1）≤hd（xn－1，xn），∀n≥1，则｛xn｝是X 中的Cauchy序列.

2 主要结果

定理1 设（X，d）是一个完备的锥度量空间，映射T：X→X是满射并且满足：

其中h＞1，则T在X中存在唯一不动点.

证明 对任一x0∈X，因T是满射知，存在X中的序列｛xn｝使得xn＝Txn＋1，n＝0，1，2，….不妨设xn≠xn＋1，∀n∈ ｛0，1，2，…｝.否则xn＋1＝Txn＋1，则xn＋1是T 的一个不动点.由式（1）得

将式（3）代入式（2）得到

下证x＊是T的不动点.事实上，因为T是满射，所以存在u∈X，使x＊＝Tu.不妨设xn≠x＊，∀n∈ ｛0，1，2，…｝，由条件（1）有

d（x＊，xn）＝d（Tu，Txn＋1）≥h｛d（u，Txn＋1）＋d（xn＋1，Tu）｝＝h｛d（u，xn）＋d（xn＋1，x＊）｝. （5）利用引理3，在式（5）中令n→ ∞，得θ≥hd（u，x＊），再由h＞1可得d（u，x＊）＝θ，即u＝x＊.所以u＝Tx＊＝x＊，即x＊是T的不动点.

最后证明T的不动点唯一.事实上，设y＊∈X也是T的一个不动点且x＊≠y＊，则有

由于h＞1，所以d（x＊，y＊）＝θ，即x＊＝y＊，所以T的不动点唯一.证毕.

注1 定理1是文献[23]中的定理1在锥度量空间中的推广.

定理2 设（X，d）是一个完备的锥度量空间，映射T：X→X是满射并且满足：

证明 对任一x0∈X，因T是满射知，存在X中的序列｛xn｝使得xn＝Txn＋1，n＝0，1，2，….不妨设xn≠xn＋1，∀n∈ ｛0，1，2，…｝.否则xn＋1＝Txn＋1，则xn＋1是T 的一个不动点.由式（7）得

下证x＊是T的不动点.事实上，因为T是满射，所以存在u∈X，使x＊＝Tu.不妨设xn≠x＊，∀n∈ ｛0，1，2，…｝，由条件（7）有

d（x＊，xn）＝d（Tu，Txn＋1）≥h｛d（u，Tu）＋d（xn＋1，Txn＋1）｝＝h｛d（u，x＊）＋d（xn＋1，xn）｝. （10）利用引理3，在式（10）中令n→ ∞，得θ≥hd（u，x＊），再由h＞可得d（u，x＊）＝θ，即u＝x＊.所以u＝Tx＊＝x＊，即x＊是T的不动点.

最后证明T的不动点集F为闭集.事实上，设x0∈F′，则存在｛xn｝⊂F，使xn→x0（n→∞）.因为T是满射，存在y∈X，使x0＝Ty.不妨设xn≠x0（n＝1，2，…），由条件（7）有

d（xn，x0）＝d（Txn，Ty）≥h｛d（xn，xn）＋d（y，x0）｝＝hd（y，x0）. （11）

注2 定理2是文献[23]中的定理2在锥度量空间中的推广.

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Fixed Point Theorem of Expanding Mappings in Cone Metric Spaces

SHI Xiao-tang，GU Feng
（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

This paper studied the existence and uniqueness of fixed points for expanding mappings in complete cone metric space without requiring the regularity of cone，adopted different iterative methods to the expanding mappings which satisfied different conditions，and obtained several new results，which have extended the recent relative results and the classical theorems in metric spaces.

cone metric space；expanding mappings；fixed point

O189；O177 MSC2010：47H10；54H25；58C30

A

1674-232X（2011）04-0305-04

10.3969／j.issn.1674-232X.2011.04.003

2011-01-12

国家自然科学基金项目（11071169）；浙江省自然科学基金项目（Y6110287）；杭州师范大学研究生教改基金.

史晓棠（1984—），女，河北沧州人，应用数学专业硕士研究生，主要从事非线性泛函分析研究.

＊通信作者：谷 峰（1960—），男，辽宁沈阳人，教授，主要从事非线性泛函分析及其应用研究.E-mail：gufeng99＠sohu.com