线性代数直观化教学模式的探索与研究

高桂英 刘怡娣 张鹤 高旭彬

摘要：线性代数是大学数学一门重要基础课，该课程的理论比较抽象，初学者不易深刻理解。为使教师更好地讲授这门课，学生更好地掌握其要领，本文结合教学实践，提出一些切实可行的教学方法，对线性代数形象化，直观化的教学模式做了有益的探索。

关键词：形象化；线性代数，几何图形。

中图分类号G420

线性代数是大学数学的一门重要基础课，不仅将为学生后续专业课的学习打下基础，而且还可以培养他们运用数学思维解决实际问题的能力，同时也为部分学生学历晋升做必要的准备。因而理工科院校对线性代数的教学历来都十分重视。如何讲好这门课程，同样是数学老师关注和探讨的话题。本文结合自己多年教学工作的一点收获，就线性代数授课中引入直观化教学模式谈一些看法和感想。

1.1 多元化人才需求对线性代数教学赋予新任务

随着社会的进步，时代的发展，社会上用人单位对人才的需求也在发生变化，趋于多元化，更多的是由过去的“知识型”转变为“应用型”。走出校门的毕业生单有理论知识而不会应用，在社会上已经很难立足。为了适应这种变化，我们的教学方法也应该做出适当的调整，在保证学生学好理论知识的同时，培养学生对数学的兴趣。特别注重知识向能力的转化。

1.2 学生的实际特点对线性代数课提出新要求

线性代数这门课的特点比较抽象、枯燥。现行的线性代数教材多数是抽象地引出概念，尽管有时也从例子中引出，但是有的例子本身就很复杂，不好理解。对于习惯于中学学习方式的本科生来说，初学线性代数往往感到困难较大。他们虽然思维活跃、求知欲强，但抽象思维能力较差，不少学生在学习线性代数的过程中，只是形式上地接受、模仿、做题，没有抓住线性代数的本质，久而久之，对学习失去兴趣。或只是为了应付考试，学过了也不知道如何应用。造成这种情况的一个重要原因就是对抽象概念缺少形象的展示。因此如何将线性代数教学直观化、形象化，应做为一个有着实际意义的探讨话题。

1.3 线性代数直观化的教学模式探索

1.3.1挖掘相关定义和定理所隐含的实际背景

线性代数的许多概念都有其蕴含的背景。挖掘出这些实际背景，对学生学习将会有很大的帮助，使他们对抽象的概念接受不再感到枯燥乏味，而是真实贴切。比如讲矩阵的概念时，我们从方程组，运输问题，电路理论等引出概念，还加入了人们所熟知的田忌赛马【1】5-6的故事：春秋战国时期，齐王与其手下大将田忌赛马，双方各出上、中、下三等马各一匹比赛，在同等马中，田忌的马均处于劣势，但田忌的上等马可战胜齐王的中等马，中等马可战胜齐王的下等马。由于田忌采用了孙膑的建议，最后赢得了齐王的千金赌注。事实上，这是一个对策问题，在比赛中，齐王和田忌的马匹可以随机出阵，那么每次比赛双方的胜负情况就要根据双方的对阵情况来定。出阵的可能策略为：策略1（上、中、下）；策略2（中、上、下）；策略3（下、中、上）；策略4（上、下、中）；策略5（中、下、上）；策略6（下、上、中）。

如果齐王和田忌依次使用上面6种策略进行比赛，那么齐王的胜、负情况就可以用下面的矩形数表来表示。其中齐王采用的策略用横向行表示，田忌采用的策略用纵向列表示。

田忌策略

.

说明：策略1（上、中、下）表示按先后出阵的顺序派上等马、中等马、下等马。其他策略解释类似。每场比赛中，如果齐王的马匹三战全胜，则用数3表示；如果2胜1负，则用数1表示；如果1胜2负，则用数-1表示。

这个矩形数表就是矩阵。通过这些事例的引入，学生在趣味盎然的气氛中进入了矩阵知识的学习。

1.3.2用学生熟悉的知识对比讲解

学生对线性方程组的问题比较熟悉，从中学起就开始接触。线性代数中不仅行列式的概念可以从解线性方程组问题中引出，其他的概念，如矩阵、矩阵的秩，向量组的秩，向量组的线性相关性等问题。以至于矩阵的初等行变换都可以与解方程组的过程对照讲解。

例如在中学代数里，用加减消元法求解二元、三元线性方程组时，常需对方程组进行下列同解变形：

（1）交换两个方程的位置；

（2）用一非零常数乘以某一方程；

（3）把某个方程乘以一个非零常数后加到另一方程上去。

如线性方程组 ，

把第一、第二两个方程的位置互换，得

，

将第一个方程的-2倍加到第二个方程上，-4倍加到第三个方程上，得

，

将第二个方程的-1倍加到第三个方程上，得

，

再经过类似的变换得方程组的解为

。

而我们知道，方程组的解取决于变量前的系数和常数项部分，每个方程组都对应一个矩阵，因而方程组的每一次变换相当于对矩阵进行一次同样的变换，这样就轻松地引出了矩阵的初等变换的概念。即互换第任意两行；将某行各元素乘以非零常数 ；将某行各元素乘以非零常数 后加到另外一行的对应元素上。

1.3.3结合几何图形，使抽象问题形象化

以二次型的问题为例。把一个二次型化为标准型是线性代数的常见运算。为什么要化为标准型？实质上，化标准型的过程中，借助了正交变换【2】134-135。由于正交变换没有改变向量的模，从几何上看，只是将坐标系旋转，用二次型表示的圖形本身并没有变化。而图形在新的坐标系下，其表达式是一个标准的解析表达式，其所表示的几何形状一目了然。例如直角坐标系 下，曲线 经坐标变换后在直角坐标系 下变为 ，显然所代表的曲线是椭圆。如图1所示，这样用几何的观点讨论二次型的问题，学生接受起来就不会感到茫然。

图1

1.3.4增加各知识点的相关应用，激发学生学习兴趣

行列式的应用除了人们所熟知的解线性方程组的问题，还可以应用行列式求三角形面积。如图2，要求三角形 的面积，设 ，则 ，而

图2

再如，求如图3所示的平行六面体的体积，

图3

设 ，则立方体的体积为 ，其中

再如特征值和特征向量的问题一直都是比较抽象的概念，学完后如何用一直困扰着学生，其实它的应用很多，例如判别系统稳定性的问题，人口增长问题，斐波那契（Fibonacci）数列问题，生物基因遗传问题，以及差分方程的问题、多元函数的极值问题等都可以使用特征值和特征值向量的有关知识来处理。以上内容可以在课堂上选取一二进行讲解，而可作为应用实例供学生课后阅读。

简而言之，根据笔者的感受，在抽象的线性代数中，引入了形象化、直观化的教学模式，无论是老师讲解还是学生学习，都会收到较好的效果。相信这种做法如果推广开来，不仅对线性代数，而且对其他的数学学科的学习，都是一个很好的借鉴。

参考文献：

【1】 Xie Guorui(谢国瑞).Linear Algebra and its Applications[M].Beijing: Higher Education Press.1999 (in Chinese).Pages:5-6.

【2】Bai Tongliang(白同亮)，Gao Guiying(高桂英).Linear Algebra and its Applications[M].5th ed.Beijing:University of Posts and Telecommunications Press.2010 (in Chinese).Pages:134-135.