完备非紧流形上的热方程

赵成兵

（1.合肥工业大学 管理学院，安徽 合肥230009；2.安徽建筑工业学院 数学系，安徽 合肥230022）

在1975 年，Cheng 和Yau 在 文 献［1］中 得 到n（n＞2）维完备流形上正的全纯函数的梯度估计，在1986年，Li和Yau在文献［2］中得到热方程任意正解的梯度估计，在1993年，Hamilton［3］得到紧的流形上的热方程光滑正解的梯度估计，三种梯度估计在研究热方程和Laplace方程起着根本的作用，在2006年，Souplet和Zhang［4］得到非紧流形上的任意正解的梯度估计，他们提高了Hamilton的结果，现在利用他们的结果求解非紧流形上热方程任意正解的梯度估计和复Hessian估计.本文是在比文献［5］较弱的条件下得到的结果.

1 两个引理

引理1［5］设M完备非紧的有着非负的Ricci曲率的黎曼流形，令u0是M上的光滑函数，使得

对常数b＞a＞0，这里r（x）是x到固定点0∈M的距离，那么T＞0 仅依赖于b使得Cauchy问题

有一个解u在M×［0，T］，且存在常数C1，C2＞0使得在M×［0，T］

引理2［4］设M是维数n≥2的黎曼流形，Ricci曲率非负且u是热方程在M×（0，∞）的正解，那么存在和维数有关的常数c1，c2使得对所有的x∈M和t＞0，有：

2 两个定理

定理1 设M是维数n≥2有非负Ricci曲率的黎曼流形，u是热方程在M×（δ，T］，δ＞0的正解，且满足引理2 的式（1）和式（2），那么存在常数C3使得

定理2 设M是完备非紧的Kähler流形有非负的全纯双截曲率，u（x，t）是热方程的解，那么存在T＞0，Cauchy问题（2）有一个解u（x，t）在M×（δ，T］，δ＞0，使得对某个常数C4＞0，对所有的（x，t），

3 证明定理

首先证明定理1，从引理2，可以知道

从引理1

所以

在证明定理2之前，有下面的两个引理.

引理3［5］设M是完备非紧的Kähler流形有非负的全纯双截曲率，u（x，t）是热方程的一个解，那么存在T＞0，Cauchy问题（2）有一个解u（x，t）在M×（0，T］，那么

这里

引理4［5］设M是完备非紧的Kähler流形有非负全纯双截曲率，u（x，t）是热方程的解，那么

现在证明定理2.

证明 在方程（3）的两边乘以φ2（x）并且分部积分，这里φ（x）是一个光滑函数使得0≤φ≤1 在Bo（R），φ=0在Bo（2R）外，且对某个常数C依赖于R有，则有

依照局部标准正交公式，可参考文献［6］

用φ2（x）乘在方程的两边并且分部积分，则可以得到

由定理1，得到

和

所以存在常数C8

因为

所以由式（4）～（6），得到存在常数C9使得

由式（6），（7）和式（9），证明定理2

［1］ Cheng S Y，Yau S T.Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications［J］.Comm Pure Apple Math，1975，28（3）：333.

［2］ Li P，Yau S T.On the parabolic kernel of the Schrödinger operator［J］.Acta Math，1986，156（1）：153.

［3］ Hamilton R S.Amatrix Harnack estimate for the heat equation［J］.Comm Anal Geom，1993，1（1）：113.

［4］ Souplet P，Zhang Q S.Sharp gradient estimate and Yau Liouville theorem for the heat equation on noncompact manifolds［J］.Bulletin of the London Mathematical Society，2006，38（6）：1045.

［5］ Ni L，Tam L F.Liouville property of plurisubharmonic functions［R／OL ］. ［2002-12-28］.http：／／arxiv.org／abs／math／0212363.

［6］ Ni L，Shi Y G，Tam L F.Poisson equation，poincaré-Lelong equation and curvature decay on complete Kähler manifolds［J］.J Diff Geom，2001，57（2）：339.