低相关区屏蔽序列偶集的构造

史仍辉,赵晓群,李立志

(同济大学 电子与信息工程学院, 上海201804)

在准同步CDMA (quasi-synchronous code division multiple access ,QS-CDMA)系统中,系统的同步可以适当放宽, 允许其同步误差控制在1 个码片或几个码片的范围内.这样就要求作为区分用户的地址码在同步误差范围内(1 个或几个码片周期)具有理想的相关特性.范平志等学者提出了零相关区(zero correlation zone,ZCZ)序列集[1-2]的概念, 并将其应用在QS-CDMA 系统中.在QS-CDMA 系统中, 采用ZCZ 序列集作为其扩频序列集, 可以降低或消除系统中如共信道干扰等一些干扰.唐小虎等将零相关区概念推广到低相关区(low correlation zone, LCZ)[3],LCZ 序列集的相关函数在零时延附近的一定区域内取极小值而不是等于零,利用LCZ 序列集可以实现低共信道干扰.显然,LCZ序列集的范围更广, ZCZ 序列集是LCZ 序列集的特例.

零、低相关区序列都可作为QS-CDMA 系统的地址码.但是这些序列的设计仍然在一定程度上受到相关性、理论界的限制.赵晓群等提出了序列偶(阵列偶)相关的概念[4],相应的研究成果有最佳二进阵列偶[4]、差集偶[5]、准最佳二进阵列偶[6]、最佳屏蔽二进阵列偶[7]、ZCZ 阵列偶[8]等,这进一步扩大了地址码的可选范围.

本文在序列偶的基础上,将伪随机屏蔽序列偶应用到LCZ 序列偶集的构造中,通过使用交织技术[9],构造了一类LCZ 屏蔽序列偶集,对构造方法进行了理论证明并举例说明.由于LCZ 序列偶集的存在范围更加广阔,可为实际的工程应用提供更多的选择.

1 基本定义和引理

定义1 设序列x=(x0 ,x1,…,xL-1)和y=(y0,y1,…,yL-1)分别是周期为L的2 个序列, 则序列x和y构成1 个序列偶, 记为(x,y), 若其中xi∈{+1 ,-1},y i∈{+1 ,-1},i=0,1,2,…,L-1,则称序列偶(x,y)为二进(二元)序列偶, 序列偶(x,y)的周期自相关函数R(x,y)(τ)定义为[4]

式中,τ为序列的时延,(i+τ)=(i+τ)modL,当τ=0 时,R(x,y)(0)称为自相关函数的主峰,当τ≠0 时,R(x,y)(τ)称为自相关函数的副峰.

定义2L长序列x=(x0,x1,…,x L-1)的p-屏蔽序列y=(y0,y1,…,y L-1)定义为

其中,p为序列x的屏蔽位数,若x i∈{+1 ,-1},则p-屏蔽序列y称为p-屏蔽二进序列,序列偶(x,y)称为屏蔽二进序列偶[10].

定义3 若L长屏蔽二进序列偶(x,y)的周期自相关函数满足

则称序列偶(x,y)为伪随机屏蔽序列偶[10];若屏蔽二进序列偶(x,y)的周期自相关函数满足

则称序列偶(x,y)为广义伪随机屏蔽二进序列偶[11].

定义4L长p个屏蔽位屏蔽二进序列偶的能量效率η定义为[11]

定义5 任意2 个L长序列偶(x,y)与(u,v)的周期互相关函数定义为[8]

式中,j=0 ,1,2,…,M-1 ,k=0,1,2,…,M-1,δ为一个较小的值, 则称该序列偶集合为一个低相关区序列偶集, 简称为LCZ(N,M,LCZ,δ)序列偶集;当M=1 时,称为LCZ(N,1 ,LCZ,δ)序列偶.当C中序列偶为屏蔽序列偶时,称为LCZ 屏蔽序列偶集.

定义7 交织序列[9,13]:设一长为L N的序列u=(u0 ,u1,…,uLN-1),可由一个L ×N 矩阵表示

若uL×N中的每一列等于一个L长序列x的移位序列,则称u为一个(L,N)交织序列.若用uj表示上面矩阵的第j列,则有u j=L ej(x), 0 ≤j＜N,其中,L ej(x)表示序列x的左循环e j移位,e=(e0 ,e1 ,…,e N-1)称为移位序列, 0 ≤e j＜L,u=I(L e0(x),L e1(x), …,L eN-1(x))表示交织序列.

定义8 给定L长序列x和y,x=(x0,x1,…,x L-1)和y=(y0,y1,…,yL-1),N长移位序列e=(e0 ,e1,…,eN-1), f =(f0 ,f1,…,f N-1),通过交织方法可以生成2 个(L,N)交织序列a 和b ,它们的矩阵表示形式分别为

引理1[9,13]对于由上述定义8 生成的交织序列a 和b ,令τ=Nτ1+τ2,0 ≤τ2＜N,则序列a 和b的互相关函数满足下式:

2 基于伪随机屏蔽序列偶的LCZ 屏蔽序列偶集的交织构造

给定周期为L的伪随机屏蔽序列偶(x,y),N长移位序列e,以及N×N阶正交矩阵HN,x=(x0,x1,…,x L-1),y=(y0,y1,…,y L-1),e=(e0,e1,…,e N-1),通过交织方法可以生成LN长序列偶(a ,b).通过利用HN中的的第i 行hi分别与a 和b 相乘,可以得到序列偶集D=(D0,D1,…,D N-1), 其中,Di=(X i,Y i)=(h ia ,h ib),h ia 表示如下:

h ib 表示与h ia 类似, 则D为一个LCZ 屏蔽序列偶集,显然, 集合D内各屏蔽序列偶的能量效率与伪随机屏蔽序列偶(x,y)的能量效率相等.当选取不同的移位序列时, 可以得到不同低相关区长度的LCZ 屏蔽序列偶集,移位序列的选择可以由定理1～3 得到.

设(x,y)为周期为L的伪随机屏蔽序列偶, 其周期自相关函数满足式(3),e=(e0,e1,…,e N-1)为N长移位序列,运用交织方法生成LN长序列偶(a ,b).

定理1 若gcd (N,L)=1,且et=N-1·t(modL),则(a,b)为LCZ(LN,1 ,L-1 ,N)屏蔽序列偶.

证明 若gcd(N,L)=1 ,且e t=N-1t(modL),则由式(8)可得

(1)当0 ＜τ=Nτ1 +τ2 ＜L时,Nτ1 +τ2 ≠0(modL),又因gcd(N,L)=1,所以τ1+N-1τ2≠0(modL),R(a,b)(τ)=N(-1)=-N.

(2)当τ=Nτ1+τ2=L时, τ1+N-1τ2=0(modL),R(a,b)(τ)=NR(x,y)(0)=NE.

由以上结果和定义6 可知,序列偶(a,b)的低相关区长度LCZ=L-1,δ=N,(a,b)为LCZ(LN,1 ,L-1 ,N)屏蔽序列偶.

定理2 若N|L,且et=(L/N)t(modL), 则(a ,b)为LCZ(LN,1 ,L-2 ,N)屏蔽序列偶.

证明 若N|L,且e t=(L/N)t(modL), 则由式(8)可得

(1)当0 ＜τ=Nτ1+τ2≤L-2 时, 0 ≤τ1＜(L/N)-1 ,或τ1=(L/N)-1 ,0 ≤τ2＜N-1 ,所以(L/N)τ2+τ1≤L-2 ,且当τ1=(L/N)-2,τ2=N-1时等号成立, 即当0 ＜τ=Nτ1 +τ2 ≤L-2 时,R(a,b)(τ)=-N.

由以上结果和定义6 可知,序列偶(a,b)的低相关区长度LCZ =L-2,δ=N,(a,b)为LCZ(LN,1 ,L-2 ,N)屏蔽序列偶.

定理3 若L|N,且et=t(modL),则(a,b)为LCZ(LN,1 ,L-2 ,N)屏蔽序列偶.

证明 若L|N,且e t=t(modL),则由式(8)可得

由以上结果和定义6 可知,序列偶(a,b)的低相关区长度LCZ=L-2,δ=N,(a,b)为LCZ(LN,1 ,L-2 ,N)屏蔽序列偶.

同理可证, 当-L＜τ＜0 时, 上述定理也成立.当将此LCZ 屏蔽序列偶与N阶正交矩阵各行相乘后就可以得到序列偶数为N的LCZ 屏蔽序列偶集,且该LCZ 屏蔽序列偶集中各屏蔽序列偶的能量效率与用来产生交织序列偶的伪随机屏蔽序列偶(x,y)的能量效率相等.

若(x,y)为周期为L的广义伪随机屏蔽二进序列偶,其周期自相关函数满足式(4),e=(e0 ,e1,…,e N-1)为N长移位序列, 运用交织方法生成LN长序列偶(a ,b),则有推论1～3 成立.

推论1 若gcd (N,L)=1,且et=N-1·t(modL),则(a,b)为LCZ(LN,1 ,L-1 ,N)屏蔽序列偶.

推论2 若N|L,且et=(L/N)t(modL), 则(a,b)为LCZ(LN,1 ,L-2 ,N)屏蔽序列偶.

推论3 若L|N,且et=t(modL), 则(a,b)为LCZ(LN,1 ,L-2 ,N)屏蔽序列偶.

推论1～3 的证明与定理1～3 的证明过程类似,在此省略.

定理4 设(x,y)为周期为L的伪随机屏蔽序列偶(或为广义伪随机屏蔽二进序列偶),e=(e0,e1,…,eN-1)为N长移位序列,H N为N×N阶正交矩阵,运用交织方法生成L N长交织序列偶(a,b),将H N的的第i行分别乘以a 和b,可以得到一个扩展的序列偶集合D,其中:

(1)若gcd(N,L)=1,且e t=N-1t(modL),则D为LCZ(LN,N,L-1 ,N)屏蔽序列偶集.

(2)若N|L,且e t=(L/N)t(modL),则D为LCZ(LN,N,L-2 ,N)屏蔽序列偶集.

(3)若L|N,且e t=t(modL), 则D为LCZ(LN,N,L-2 ,N)屏蔽序列偶集.

证明 对于D中的任意2 个序列偶D i=(X i,Y i)和D j=(X j,Y j)的互相关函数为

当τ=0 时, 如 果i≠j,由于h i,h j正交, 则R(Di,Dj)(0)=0 .

当|τ|＞0 时,由定理1～3 及推论1～3 可知,在序列偶(a ,b)的低相关区内, 集合D内序列偶的自相关函数和互相关函数满足低相关区序列偶集的定义.该LCZ 屏蔽序列偶集中的各屏蔽序列偶的能量效率与屏蔽序列偶(x,y)的能量效率相等.

以上为采用行交织方法得到的LCZ 屏蔽序列偶集, 此方法还可以推广为列交织或者行列均交织的方法,通过选择适当的移位序列和伪随机屏蔽序列偶可以生成体积更大的LCZ 屏蔽序列偶集.

3 构造实例

例1 8 长伪随机屏蔽序列偶(x,y),x=(1,1 ,-1 ,1 ,-1 ,-1 ,-1 ,-1),y=(1,1 ,-1,1,0,0 ,-1 ,0), 其周期自相关函数主峰值为5,副峰值为-1 ,能量效率为62 .5 %.H4为一个4 ×4 阶正交矩阵,移位序列为e=(0 ,2,4,6), 根据定理2 和定理4 ,可得LCZ 屏蔽序列偶集D={Di}={(X i,Y i)},其中,“ +” 表示1 ,“-” 表示-1 ,i=0 ,1 ,2 ,3 .

计算集合D内各序列偶的自相关函数和互相关函数,限于篇幅下面只列出D0的自相关函数值及D0与D1,D0与D2,D0与D3的互相关函数值,可以验证D为LCZ(32 ,4,6,4)屏蔽序列偶集, 能量效率为62 .50 %.

例2 12 长广义伪随机屏蔽二进序列偶(x , y),x =(1 ,1 , -1 , -1 , -1 , -1 , -1 , -1 , 1 , -1 , 1 , -1), y =(1 ,1 , -1 , -1 ,0 , -1 , -1 , 0 ,1 , -1 , 0 , -1),R(x,y)(τ)=(9 , -1 , 1 ,1 , 1 , -1 , -1 ,1 , 1 , -1 , 1 ,1),τ=0 , 1 ,2 , …,11 ,其周期自相关函数满足式(4), 能量效率为75 %.H4为一个4 ×4 阶正交矩阵, 移位序列为e =(0 ,3 , 6 , 9), 根据推论2 和定理4 , 可得LCZ(48 , 4 ,10 ,4)屏蔽序列偶集,能量效率为75 .00 %.

例3 :16 长广义伪随机屏蔽二进序列偶(x , y),x =(1 ,1 , -1 , -1 ,1 ,1 , -1 , -1 , -1 , -1 , -1 , -1 ,1 , -1 ,1 , -1), y =(0 , 1 , -1 , -1 , 1 , 1 , 0 , -1 , -1 ,-1 , -1 , 0 ,1 , -1 , 1 , -1), R (x , y)(τ)=(13 ,1 , -1 ,-1 , 1 ,1 , -1 ,1 ,1 , -1 , -1 , -1 ,1 ,1 , -1 , -1), τ=0 ,1 , 2 , …,15 ,其周期自相关函数满足式(4), 能量效率为81 .25 %.使用一个8 ×8 阶正交矩阵H8和8 长移位序列e =(0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14), 可得LCZ(128 ,8 ,14 ,8)屏蔽序列偶集, 能量效率为81 .25 %.

4 结语

给出了基于伪随机屏蔽序列偶的低相关区屏蔽序列偶集的构造方法, 基于伪随机屏蔽序列偶和正交矩阵,通过选择不同的移位序列, 经过交织变换可以生成具有一定长度、序列偶数目和低相关区长度的LCZ 屏蔽序列偶集.该方法可同样基于广义伪随机屏蔽二进序列构造LCZ 屏蔽序列偶集.生成的LCZ 屏蔽序列偶集的能量效率与用来产生交织序列偶的屏蔽序列偶能量效率相等.由于LCZ 序列偶集存在的范围更加广阔, 可为实际的工程应用提供更多的选择.

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