考虑层间滑移效应的组合梁解析计算

苗 林,陈德伟

(同济大学 桥梁系, 上海200092)

组合梁界面的相对滑移对结合结构受力性能的影响主要表现在两方面:降低结构刚度,使组合梁在使用荷载作用下的变形增大;降低截面的组合效应,使结合截面抗弯承载力减小.

国内外对组合梁截面滑移引起挠度变化的计算方法进行了大量的试验和理论研究工作,取得了不少研究成果, 主要有以下计算方法:①换算截面法:1912 年英国的E .S .Andrew s 提出了沿用至今的换算截面法, 是根据弹性模量的比例关系将钢-混凝土结合截面换算成为同一种材料进行计算.我国《钢结构设计规范》(GBJ17 —1988)即采用此法;②基于换算截面法的内插法:1975 年R .P .Johnson 根据试验结果提出了部分剪力连接刚度计算采用完全剪力连接和零剪力连接刚度按照剪力连接程度的1/2 次幂内插的计算方法[1].1994 年的美国钢结构规范[2]借鉴了R.P .Johnson 的研究成果, 给出了组合梁的等效抗弯刚度(E I)eff,其中,E为材料弹模,I为内插法计算截面惯性矩;③折减刚度法:聂建国等[3-4]在建立相对滑移微分方程的基础上, 得到不同荷载工况下组合梁因滑移引起的附加变形计算公式, 通过对理论公式的简化和修正, 提出了考虑滑移变形的组合梁挠度计算的折减刚度法.该方法被我国《钢结构设计规范》 (GB50017 —2003)采用;④解析法:Lloyd C .P .Yam 根据平衡关系和变形协调条件推导了组合梁控制微分方程, 微分方程随边界条件和剪力连接程度而异[5];蒋丽忠、余志武等对均布荷载[6] 及集中荷载[7]作用下简支钢-混凝土组合梁的滑移及其对组合梁变形挠度影响的理论计算进行了研究, 推导了简支钢-混凝土组合梁的界面滑移和挠度变形的理论计算公式.

本文将双层组合梁层间的相对滑移u作为一个基本变量,利用Goodman 弹性夹层假设及弹性体变形理论,由变分法推导出组合梁滑移和挠度控制微分方程,引入“滑移附加弯矩” 表示界面滑移对结构变形的影响, 并求解简支组合梁及悬臂组合梁在多种荷载作用下挠度和截面滑移的理论公式;利用相对滑移u的表达式可以方便求得层间滑移对结构挠度及截面应力的影响.

1 组合梁滑移及变形的理论分析与微分方程的建立

1.1 计算基本假设

组合梁在使用荷载作用下, 其钢梁处于弹性工作阶段, 混凝土翼缘的最大压应变也位于应力-应变曲线的上升段, 这已被大量实验和数值计算结果所证实[3].因此, 为了简化起见, 在分析滑移效应时可以近似地将组合梁当成弹性体来考虑, 并作如下假设:①钢梁与混凝土均为各向同性的弹性体;②变形前后,组合梁钢梁和混凝土板截面分别符合平截面假定;③组合梁的竖向纤维无挤压,不考虑组合梁的横向应变;④剪力连接件等效地用连续的弹性介质[8] 代替,竖向层间掀起力与相邻层的竖向相对位移成正比;层间界面的水平方向剪力与相邻层的水平相对位移差成正比,也即与滑移量成正比.

由上述基本假设, 建立坐标轴如图1 所示,Ox轴与组合梁中性轴重合.图中,M,V及N分别为截面弯矩、剪力和轴力;E为梁弹性模量;A为梁截面面积;ρv,ρh分别为夹层的竖向和水平的反应模量;ω为梁挠度;ω′为梁挠度一阶导数;u为水平位移;下标t和b分别表示上下层梁;C表示中性轴.组合梁弹性夹层中竖向反力qv和水平反力qh可以表示为

式中:ub,c与ut,c为梁截面中性轴处的水平位移,u=ub,c-ut,c;zt,b,zb,t分别为上下层梁中性轴至各自梁底、梁顶的距离.

在计算过程中不考虑上下层梁竖向脱离, 即认为两者竖向位移相同.根据基本假设,在外荷载作用下,组合梁的应变由两部分组成:服从平截面假定的弯曲变形和上下层间各自保持平截面伸缩的相对滑移.截面的弯曲应变为εm

式中:ω″为梁挠度二阶导数;z为截面上任意一点的竖向坐标.

图1 微段梁变形模型Fig.1 Deformation of infinitesimal segments

层间产生相对滑移,同时上下层梁保持平截面伸缩.层间界面的水平方向剪力使组合梁整个截面的轴力自平衡, 由层间相对滑移引起的截面应变εs

根据组合梁截面轴力自平衡方程, 得到上下层梁层间相对滑移引起的轴向应变分别为, 式中:αE为下上层梁的弹性模量之比, αE=Eb/Et;u′为层间相对滑移应变.上述应变叠加, 可以得到组合梁的总应变ε=εm+εs.截面应变分布见图2 .图中,at,ab分别为上下层梁截面重心到换算截面重心的距离,a=a t+a b.

图2 截面应变分布Fig .2 Sectional strain distribution

1 .2 基本变分方程的建立

式中,L为计算梁长.对组合梁上下层梁材料及抗剪连接件引入线弹性本构关系, 可以计算出上层梁正应力σt(x,z),下层梁正应力σb(x,z), 剪力连接件的剪力qh(x)

根据最小势能原理, 在外力作用下,结构处于平衡状态.当有任何虚位移时, 体系总位能的一阶变分为零,即

式中:V为体系的应变能;Γ为外力势能.

梁受弯曲时的外力势能

组合梁上层梁的应变能

组合梁下层梁的应变能

弹性夹层滑移应变能

将式(5)～(8)代入外力势能及体系应变能表达式(12)～(15), 由最小势能原理δΠ=0 ,并作分部积分后得到下列微分方程组:

式中:A-o1=Ab-1+αEAt-1;I为截面惯性矩,Io =Ib +Aba2b+It/αE+Ata2t/αE即将组合梁换算成以下层梁材料为主的截面换算惯性矩.

边界条件为:当组合梁固结时u=0 ,δu=0 ;当组合梁为非固结时

方程(19)的一般解形式为

式中,u*为与M′(x)分布有关的微分方程特解, 系数C1与C2由梁的边界条件确定.

1 .3 组合梁滑移附加弯矩与截面应力分布

由式(16)得到如下关系式:

式中,Ms(x)为滑移附加弯矩, 由层间相对滑移而产生, 与层间滑移分布曲线的切线斜率成正比,Ms(x)=EbAoau′(x).

由式(7)～(8)可以求得组合梁上下层梁截面的应力分布

式中后2 项为考虑层间相对滑移的截面应力修正项,层间滑移导致截面应力的重分布.

2 常见结构形式微分方程的解析解

对悬臂梁、简支梁组合梁的滑移效应采用变分法进行求解,以便用于具体计算.以下公式适用于等截面的情况.

2.2.2 研发能力。三德科技建有完善的产品研发体系与机制，据介绍，该公司截至目前，先后承担国家级科技计划11次、申请专利413项(其中发明专利140项)，均位居行业第一。同时，该公司也是行业唯一的“国家火炬计划重点高新技术企业”和“国家级知识产权示范企业”，建有“湖南省企业技术中心”和“湖南省煤质分析与检测设备工程技术研究中心”两个研发平台，拥有近200人的研发和技术团队，制修订国家/行业产品技术标准6项。考虑到煤炭入厂验收智能化建设有许多需要根据实际情况或个性化需求再设计的环节，较强的研发能力有利于该等需求的实现。

2 .1 悬臂梁承受端部集中荷载

如图3 所示,悬臂梁自由端作用集中力P.组合梁弯矩与剪力函数为M(x)=P x,Q(x)=M′(x)=P.

将M(x)与Q(x)代入式(19)得u″-k2u=(an P)/(EbIo), 其微分方程通解为u(x)=an·P(EbIo)-1(C1sinhkx+C2coshkx-k-2).

图3 悬臂梁自由端作用集中荷载Fig.3 Cantilever beam subjected to concentrated load at free end

2.2 简支梁承受均布荷载

如图4所示简支梁作用均布荷载q.弯矩与剪力函数为M(x)=(q/2)(L-x)x,Q(x)=(q/2)(L-2x).将M(x)与Q(x)代入式(19)得,其微分方程通解为

图4 简支梁承受均布荷载Fig .4 Simply-supported beam subjected to uniform distribution load

2 .3 集中荷载形式下简支梁变形及附加弯矩

如图5 所示简支梁任一位置作用集中荷载P,其弯矩与剪力均为分段函数.

图5 简支梁承受集中荷载Fig.5 Simply-supported beam subjected to concentrated load

组合梁截面应力分布, 可由滑移附加弯矩Ms(x)及外荷载M(x)代入式(23)～(24)求得.

3 算例

本文算例如图6 所示:上层梁采用C30 混凝土,下层梁采用工字钢.抗剪连接件采用双排φ22 圆柱头栓钉,轴向间距150 mm .梁长L=4 .5 m,Et=3.00 ×107kPa,Eb=2 .06 ×108kPa;栓钉的水平反应模量,即栓钉抗剪承载力设计值[9]ρh=762.67 kN ·m-2.有限元模拟计算采用软件 ANSYS[10],上层梁通过 8节点Solid45 实体单元, 下层梁采用4节点Shell4 3壳单元, 栓钉采用2 节点Combin39 弹簧单元,弹簧刚度按照单个栓钉抗剪设计承载力[9]取值, 用以考虑受力之后的滑移.上下梁层间界面除栓钉节点的纵向位移约束采用弹簧模拟外, 其他节点的位移采用耦合约束,有限元计算模型见图7 .

图6 截面几何尺寸(单位:mm)Fig.6 Geometry of cross section (unit:mm)

图7 有限元模型Fig .7 Finite element model

本文的理论计算值与有限元模拟值的对比见表1 及表2 ,其中σtop,σbot分别表示组合梁截面上下缘轴向应力;ωslip为考虑组合梁层间滑移得到的挠度值;ωnom为不考虑层间滑移得到的挠度值.整体坐标系如图2 所示, 轴向应力以拉应力为正、压应力为负.荷载与挠度的正方向与整体坐标系正方向相同.

表1 简支梁承受均布荷载结果对比Tab.1 Results comparison for the simply-supported beam subjected to uniform load

表2 悬臂梁自由端作用集中荷载结果对比Tab.2 Results comparison for the cantilever beam subjected to concentrated load at free end

上表中不考虑层间滑移效应挠度值ωnom,即组合梁按照弹性梁理论换算截面特性得到的挠度值.简支梁承受均布荷载,跨中截面上下缘轴向应力、挠度的有限元计算值与本文理论计算值的比值为0 .998 ,不考虑层间滑移跨中挠度有限元与理论值比值为0 .998～1 .001 ;悬臂梁自由端作用集中荷载,固端截面上下缘轴向应力、自由端挠度的有限元计算值与本文理论计算值的比值为0 .983 和0 .999 ,不考虑层间滑移自由端挠度有限元与理论值比值为1 .002 .不同荷载作用下, 简支梁与悬臂梁的挠度与滑移分布见图8 及图9 .综上可以看出, 本文理论值与有限元计算值吻合较好.

图8 不同均布荷载下简支Fig .8 Deflection distribution and slip distribution of the simply-supported beam subjected to different uniform distribution load

由图8～9 中的滑移分布图可以看出:①简支组合梁在均布荷载作用下, 跨中出现滑移的反弯点,其余各点滑移值以跨中坐标点呈现反对称;跨中点滑移值较小,向端点两侧各点滑移值逐渐增大, 但滑移曲线斜率值u′在跨中处最大,端点处趋于平缓, 因此跨中处附加弯矩Ms达到最大值;②悬臂组合梁在自由端集中荷载作用下, 自由端滑移值最大, 向固定端方向各点滑移值逐渐减小;滑移曲线斜率u′在自由端处最小、固定端处达到最大值.

图9 不同集中荷载下悬臂梁Fig .9 Deflection distribution and slip distribution of the cantilever beam subjected to different concentrated load at free end

4 结语

以组合梁层间相对滑移为基本未知量,得到层间滑移与结构挠度的关系,从而引入滑移附加弯矩,考虑双层组合梁层间滑移对结构变形及截面应力分布的影响.通过结构平衡微分方程的解析解,对悬臂梁、简支梁组合梁的滑移效应采用变分法进行求解,得到常见结构形式的滑移附加弯矩.本文理论值与有限元计算值吻合得较好,滑移附加弯矩理论计算公式适用于正常使用阶段的悬臂梁、简支梁组合梁,可以简化计算层间滑移引起的组合梁刚度截面应力重分布及挠度,同时可以得到梁长范围内滑移的分布规律.

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