RC并联电路的交流阻抗谱

魏 波，吕 喆

（哈尔滨工业大学，黑龙江哈尔滨 150080）

RC并联电路的交流阻抗谱

魏 波，吕 喆

（哈尔滨工业大学，黑龙江哈尔滨 150080）

交流阻抗谱技术在实际研究中具有广泛应用，利用交流阻抗谱分析了单时间常数和双时间常数RC并联电路的频率特性，给出了单时间常数和双时间常数的复平面阻抗谱特点。

RC并联电路；阻抗谱；时间常数

由一个电阻和电容并联组成的RC电路（见图1）在模拟电路和数字电路等方面有广泛的应用。电阻和电容参数选取的差异以及它们在电路中的连接方式不同，可以使它们组成不同形式的RC电路并表现出不同的功能。电阻、电容及其串并联电路对频率具有不同的响应特征，用以构建滤波电路和移相电路等［1－2］。交流阻抗谱技术是一种以小振幅的正弦波电位为扰动的稳态电测量方法，是通过对很宽的频率范围内测量阻抗的变化来研究待测系统，具有测试速度快、对研究体系干扰小等特点，因而得到广泛应用［3－4］。例如离子导电陶瓷的晶粒－晶界导电区分［5－6］，电极电化学过程的分析［3］等。本文利用交流阻抗谱技术，测量了单时间常数和双时间常数RC电路的阻抗和频率响应特性，分析了时间常数对复杂RC串并联电路阻抗谱图的影响规律。

1 实验原理

在交流条件下，电阻和电容的复阻抗分别为

式中：j为虚数单位。RC并联电路总复阻抗的倒数等于两个并联元件复阻抗的倒数之和，即：

则阻抗的实部和虚部分别为

由（5）（6）两式可以得到相位角的正切为：

把式（7）带入式（5）或（6），同时消去角频率ω后可以得到

这是一个在复平面上的圆心位于（R／2，0），半径为R／2的圆方程。模是实部与虚部的平方和的正平方根

另外，角频率ω与频率f之间关系满足

2 实验装置和方法

对于单时间常数RC并联电路，具体方法为把电阻（标称值10 kΩ，记为R1）和陶瓷电容（标称值103p F，记为C1）并联后进行阻抗谱测试。而对于双时间常数RC并联电路，则把R1、C1和R2、C2分别进行并联后再进行串联，然后测试。其中R1、C1值不变（10 kΩ，103p F），而R2C2并联电路分两种情况，一种为R2固定不变（取20 kΩ），而C2分别取1μF、0.1μF、4700 p F和103p F。另一种为C2固定不变（取1μF），R2分别取10 kΩ、20 kΩ、25.5 kΩ和51 kΩ。使用法国Biologic VSP双通道电化学工作站在室温下测试其阻抗谱。交流扰动幅度为10 m V，频率范围为1～0.1 Hz。

3 单时间常数RC并联电路的阻抗谱分析

如图2所示，给出了R1＝10 kΩ，C1＝103p F的RC并联电路的复平面阻抗谱图（Nyquist图）。考虑到Z′＞0，Z″＜0，其轨迹为位于第四象限的半圆，圆半径为5 kΩ。可以看出，在高频率时f→∞，半圆与实轴相交于原点（0，0）。在低频率时f→0，半圆与实轴相交于点（R1，0），即阻抗谱中低频部分与实轴的截距为RC电路中的电阻值。在半圆的最高点处有Z′＝Z″，tanθ＝-ωRC＝-1，θ＝ -45°。此时并联电路的模为

图1 单时间常数RC并联电路的复平面阻抗谱图

图2 RC并联电路模随频率的变化关系（a）和相角随频率变化关系（b）

由于频率范围变化大，故而在测量时使频率按照对数规律变化，因而在绘制反映电路的阻抗和相位随频率变化关系的波特图（Bode图）时横坐标也用对数标度。相应结果在图3中给出。对公式（10）取常用对数得，

4 双单时间常数RC并联电路的串联阻抗谱分析

双时间常数RC并联电路如图3所示，它由两个不同时间常数（τ1＝R1C1和τ2＝R2C2）的RC并联电路串联构成。图4给出了不同C2时（R1、C1和R2不变）的阻抗谱图，具体电阻和电容参数在图中列出。可以看出在C2＝1μF时，阻抗谱表现为两个相切的半圆。高频和低频对应半圆的半径分别为5 kΩ和10 kΩ。两个半圆的时间常数分别为τ1＝10-5s和τ2＝2×10-2s，两者相差3个数量级。随着C2的减小，低频半圆的时间常数τ2也随之减小，高频半圆和低频半圆的之间的界限也逐渐模糊。当C2＝103p F时已无法区分高低频半圆。可见，对于双时间常数电路，时间常数需相差两个数量级以上才能明显区分两个半圆。相应的模和相角随频率的变化关系在图6中给出。

图3 双时间常数RC并联电路示意图

图4 改变C2时双时间常数RC并联电路阻抗谱图

图5 改变C2时双时间常数RC并联电路模随频率的变化关系（a）和相角随频率变化关系（b）

在高频区域，在lg| Z|随频率的关系是斜率约为-1的直线。而在低频区则都趋向于R1＋R2。对于C2＝1μF时两个特征频率对应的拐点可以分辨出。当C2减小之后则变得不清晰。在相角图中可以看出，四种情况中相角都是从高频的-90°趋于低频的0°，高低频区域重合较好。但在中频区，可以明显看到C2＝1μF时出现峰值为f＝14.6 Hz的负峰。随着电容的减小而向高频区移动并变得不清晰。图7给出了只改变R2值时的交流阻抗谱。两个RC电路的时间常数相差约三个数量级。在R2＝10 kΩ，C2＝1μF时，阻抗谱为两个半径均为5 kΩ的半圆。随着R2值的增加，第二个半圆的半径也随之增大。以上给出了双时间常数RC电路的阻抗特点，通过对它们的理解有助于对实际研究得到阻抗谱的分析。

图6 改变R2时双时间常数RC并联电路的阻抗谱图

5 结 语

本文分析了RC并联电路的交流频响性质，给出了单时间常数和双时间常数的复平面阻抗谱特点。实际上，交流阻抗技术在材料研究、地球科学［7］、表面处理［3］和生命科学［3］等领域得到了非常广泛的应用，而利用等效电路对阻抗谱分析恰是目前常用的手段。通过掌握RC并联电路的阻抗谱性质及特点，有助于理解和分析实际研究中测得的交流阻抗谱数据。

［1］ 赵凯华，陈熙谋.电磁学：下册［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［2］ 伍松乐.RC电路的应用［J］.现代电子技术，2004（14）：99-101.

［3］ 史美伦.交流阻抗谱原理及应用［M］.北京：国防工业出版社，2001.

［4］ Barsoukov E，Macdonald JR.Impedance spectroscopy：theory，experiment，and applications［M］.John Wiley and Sons，2005.

［5］ Balazs GB，Robert SG，AC impedance studies of rare earth oxide doped ceria［J］.Solid State Ionics，1995，76（1-2）：155-162.

［6］ 刘毅.交流阻抗谱方法对钇稳定氧化锆晶界电性能的研究［J］.物理实验，2005（11）：15-17.

［7］ 王多君，易丽，谢鸿森，等.交流阻抗谱法及其在地球深部物质科学中的应用［J］.地学前缘，2005，12（1）：123-129.

AC Impedance Spectra of RC Parallel Circuits

WEI Bo，LV Zhe

（Harbin Institute of Technology，Heilongjiang Harbin 150080）

AC impedance spectra are widely used in practical research.In this paper，the frequency response properties of RC parallel circuits with single or double time constants were analysized by AC impedance spectra.

RC parallel circuit；impedance spectra；time constant

TM131.4

A

1007-2934（2011）05-0058-03

2011-06-22