基于实验的数学教学研究

殷堰工

（苏州市教育科学研究院，江苏苏州215004）

基于实验的数学教学研究

殷堰工

（苏州市教育科学研究院，江苏苏州215004）

开展数学实验教学，能改变传统的教学模式，让学生被动的“接受知识”变为主动的“发现知识”，让学生从“听”数学变为“做”数学，培养学生基本的数学能力，体现新课程的理念，真正实现素质教育。数学实验使得数学教学创设了一种“问题—实验—交流—猜想—验证”的新模式，满足了不同学生的需求，使不同学生的能力在各自的基础上都得到发展。数学实验教学还处在探索阶段，存在着不少问题，对数学实验教学进行审思是十分必要的。

数学教学；模式；数学实验

一、问题的提出

（一）数学实验的背景

大数学家欧拉说过：“数学这门科学需要观察，也需要实验”。著名数学教育家G·波利亚指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式严谨的科学，从这方面看数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学看起来却像一门实验性的归纳科学。”这要求数学教学既要充分体现它的形式化、抽象化的一面，又必须重视数学发现、数学创造过程中具体化、经验化的一面。而数学实验教学可以让学生体验和感悟数学的两个侧面，因此，数学教学也需要进行数学实验。20世纪最具影响的数学教育家弗赖登塔尔曾指出：“要实现真正的数学教育，必须从根本上以不同的方式组织教学，否则是不可能的。在传统的课堂里，再创造方法不可能得到自由的发展。它要求有个实验室，学生可以在那儿个别活动或是小组活动。”

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中明确指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”。《中职数学教学大纲》要求“充分利用计算工具和数表解决计算问题，培养学生使用基本计算工具的能力。适当体现探索、发现、归纳和创造的方法，逐步形成学生的创新意识”。新课程初中数学各类教材中出现了诸如“想一想”、“看一看”、“做一做”等数学实验的内容，让学生学习数学的过程置身于一个“数学实验室”之中，通过实验使学生学会思考、学会学习、学会发现。教育部在新编高中数学教学大纲中安排了4种“实习作业”和6个“研究性课题”，采用数学实验教学比较适切。中职数学教材中的“解析几何”、“三角函数”、“立体几何”、“应用题”等内容，从职业学校培养学生应用能力的目标看，用数学实验进行教学是行之有效的途径之一。

计算机的出现改变了数学只用纸和笔进行研究的传统方式，给数学家的工作带来了最先进的工具，丰富和发展了“数学实验”的内涵，特别是利用计算机成功地解决“四色问题”对数学领域产生了巨大的影响。一些数学家“正在创立一种新的做数学的方法，即主要通过计算机实验从事新的发现。由于这种研究方法是与传统方法很不相同的，因此，在这些数学家看来，计算机的使用正在改变数学的性质；数学正在成为一门‘实验科学’。”《普通高中数学课程标准》（实验稿）的基本理念之一是：数学课程提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，逐步实现教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生互动方式的变革，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具。

（二）一项调查的结论

在发达国家，数学实验已成为常见的教学形式，美国的许多中学里辟有专门的数学实验室，英国的中学教材里有许多数学实验的内容。下面是一项微型调查，折射出我国数学实验教学的现状：

对4所中学数学教师的问卷调查统计发现，在收回的56份问卷中，有48人认为在数学教学中有必要做数学实验，有6人不置可否，仅有2人认为没有必要做数学实验。13人没有回答“大约做过几次数学实验”的问题。据此统计，平均每个教师每年仅做1.12次数学实验，其中还包括了教师的演示实验。尽管大部分教师认为数学实验是必要的，为什么很少采用这种教学形式？主要是，“怕影响教学进度”的有18人，约占32%；“没有实验条件”的有19人，约占34%；“没有经验”的14人，占25%；其他回答4人，约占9%。随着新课改的深入，教师对数学实验认识的不断提高，越来越多的数学教师开始尝试数学实验教学，以提高数学教学的质量。

二、基于实验的数学教学可行性研究

（一）数学实验的重要意义

开展数学实验教学，能改变传统的教学模式，让学生被动的“接受知识”变为主动的“发现知识”，让学生从“听”数学变为“做”数学，通过引导学生将课本中的数学和生活中的数学紧密结合起来，使学生发现数学，应用数学，培养学生基本的数学能力，真正实现素质教育的目的。

数学实验教学让学生在创设的问题情境中自主探索、合作交流，亲历从直观想象到发现猜想，通过给出验证及理论证明的数学构建过程，让学生“看到了数学构建过程的脚手架，而不是简单的现成品”，这是“新课标”所倡导的教育理念。

（二）数学实验的理论依据

数学实验的理论依据除了建构主义理论和主体教育理论外，结合数学学科特点，笔者认为还应有“再创造教学”理论作支撑。弗赖登塔尔认为，不应该学习现成的数学，“学生应当通过再创造来学习数学，这样获得的知识与能力才能更好地理解，而且能保持较长久的记忆”。这个“再创造”原则贯穿于数学教育整个体系之中，要把数学教育作为一个活动的过程来分析，使学生在学习过程的不同层次中，始终处于积极、创造的状态。

（三）数学实验的主要作用

有研究者认为，数学实验有助于学生加深对概念的理解有助于学生发现数学原理；有助于学生找到解决问题的途径；有助于学生强化应用数学的意识；有助于培养学生的创造能力。这里仅以一个例子说明之。

[案例1]问题解决教学

题目：已知双曲线x2－y2＝4，直线L：y＝kx+2，问当实数k取何值时，直线L与双曲线只有一个公共点？

学生一般借助前面已学过的直线与椭圆的位置关系判别方法，联立方程组：

消去y，得（1－k2）x2-4kx-8＝0，再由△＝0，得

这时教师启发学生：是否仅有这两条直线与双曲线只有一个公共点？引发新知与旧知的冲突，激发学生探求新知的欲望。

实验探索：

直线L过定点P（0，2），学生在计算机上绕P（0，2）旋转直线L，发现当直线L与双曲线的渐近线平行时，直线L与双曲线也只有一个交点。这个规律是否带有普遍性呢？教师再提出问题：若点P在平面内的其它位置，过该点并且与双曲线只有一个公共点的直线有几条？学生再实验探索点P在各种不同位置时只有一个公共点的直线条数。

提出猜想：

学生通过实验探索，提出猜想：直线只要与浙近线平行，直线与双曲线就只有一个交点。

验证猜想：

教师可引导学生审视在（1）中的解答，为何会漏掉与渐近线平行的直线。学生通过仔细观察发现用△＝0时，忽略了方程：（1－k2）x2-4kx-8＝0的二次项系数1－k2＝0的情形，当1-k2＝0时k＝±1，这正是渐近线的斜率，此时直线L与渐近线平行。还有，当1－k2＝0时，上述方程就是一次方程，只有一解，这样就验证了当直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线只有一个公共点的猜想，这样，学生对这个结论的理解就更深刻了。

问题拓展：

教师进一步提出以下问题，让学生做更深入的研究。

①当k为何值时，直线L与双曲线没有交点；

②当k为何值时，直线L与双曲线有两个交点；

③当k为何值时，直线L与双曲线的右支有两个交点；

④给定双曲线和定点，过定点与双曲线有两个交点的直线有几条？

⑤对于上面讨论的问题，若把双曲线换成其它圆锥曲线结果又如何？

对问题的不断引申、拓展，培养了学生的发散性思维和探索能力，使知识和能力得到进一步的升华。

三、数学实验教学模式研究

（一）数学实验教学的概念、特点、功能

所谓“数学实验是为了探究数学知识、检验数学结论（或假设）而进行的某种操作或思维活动。数学实验教学指恰当运用数学实验，创设问题情境，引导学生参与实践、自主探索、合作交流而发现问题、提出猜想、验证猜想和创造性解决问题的教学活动”。数学实验教学以“主体、探索、创新”和“数学教学是再创造再发现的教学”为基本理念，思维量大是数学实验的基本特点，开放性、动态性和时代性是数学实验教学的基本特性。数学实验教学本身则具有这样两个鲜明的特点：一是以问题为载体，即通过对实际问题的解决培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力。二是以学生为主体，即在教师的精心准备和指导下，学生自主探索解决问题，在成功和失败中获取知识和培养能力。这两个特点决定了数学实验教学具有的独特功能。

有研究者提出了“独特的同化功能和显著的激励功能”。其实，落脚点还在于优越的发展功能。这是因为，数学实验是一种活动化教学，一种开放式教学，它能满足不同学生的需求，使不同学生的能力在各自的基础上都得到发展。

（二）数学实验的基本模式

“数学实验使得数学教学创设了一种‘问题—实验—交流—猜想—验证’的新模式”。这种模式是学生在教师的引导下，利用材料，主动探究、发现。程序为：创设情境→分析探究→猜想假设→论证评价。体现了学生参与发现过程的主体地位，注重了发现策略和方法的培养。下面是两个数学实验的具体例子：

[案例2]椭圆的概念教学

问题情境：让学生拿出课前准备好的一块纸板，一段细绳和两枚图钉，按课本的要求画椭圆，使他们亲身体验到椭圆的画法，品尝到成功的喜悦，在此基础上再提出如下问题：

①纸板上的作图说明了什么？

②在绳长不变的前提下，改变两个图钉间的距离，画出的椭圆有何变化？当两个图钉合在一起时，画出的图形是什么？当两个图钉间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？当两个图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？

经过实验，学生很快得出结论，当2a＞2c时是椭圆；当2a＝2c时是线段；当c＝0时是圆；当2a＜2c时轨迹不存在。

③根据以上作图实验回答：椭圆是满足什么条件的点的轨迹？（由学生归纳椭圆的定义）

这个实验不是把数学知识直接告诉学生，而是通过学生动手操作、合作探究获得的，这是一个主动建构的过程．在这一过程中，通过动手操作，把学生推到思维的前沿，把课堂交给了学生，给学生参与实验、自主探索、合作交流的机会，让学生在自主的思维活动中去构建新的认知结构，这样既加强了数学交流，又培养了合作精神。它使学生对椭圆的概念有一个清晰准确的认识，全面深刻的理解，不仅使他们知其然，更能知其所以然。

[案例3]应用二次函数求面积的最值问题

问题情境：准备一根细绳，全班学生用统一长度的细绳围成不同形状的矩形，让他们通过测量算出矩形的面积。学生通过操作和计算，得到了很多不同的结果，有大有小，此时：

师问：是什么造成这些不同结果？

生答：是形状不同造成的，矩形的边长不同，这也就说明周长一定的矩形边长可以不同。师师问：你能用已学过的知识计算一下这样的矩形有最大或最小值吗？

通过操作学生感受到，应该设变化的边长为未知数，然后用此未知数表示另一边，再用面积公式表示出面积。学生最终发现问题的实质是一个二次函数，可以用已学的二次函数知识，从理论上证明存在的最大矩形是正方形。在这样的操作实验中，学生不但对二次函数中的变量与不变量有了直观感受，还能够水到渠成地进行未知数的设定和函数模型的建立。

四、数学实验教学存在的问题

由于数学实验教学还处在探索阶段，在具体的实践中，仍然存在着问题。就教师而言，反映在认识上：传统的数学讲解式课堂模式，大容量、高强度、多反复的课堂训练模式在绝大多数数学教师身上留下了深深的烙印，表现在担心数学实验花时较多，怕影响其教学的进度与质量。反映在经验上：长期以来，数学实验一直被教育所忽视，教材中有关数学实验的内容很少，各种数学报刊有关数学实验的文章也不多，有时教师即使想做一点数学实验，也因没有必要的经验和指导而流于形式，数学实验的功能得不到应有的发挥和重视。就学生来说，由于数学实验兴起不久，以前的学习中很少涉及此类问题，现在要求让学生在教师的指导下自己进行数学实验，往往表现出不知所措，难以设计出一套完整的实验方案，实验的过程中也提不出问题，完成不了必要的归纳和总结，基本技能也不够，遇到挫折容易退缩，学生的参与程度相当有限。

五、对数学实验教学的审思

（一）数学实验教学开展的密度

斯托利亚尔说：“数学教学是数学活动（思维活动）的教学，而不仅是教学活动的结果——数学知识的教学”。数学毕竟与其他学科不同，实验只是佐证，主体还是问题教学、思维体操，因此实验教学开展密度不宜过大。数学实验教学只是数学教学的一个重要方式，决不能以实验教学代替演译、推理、证明和练习的教学。

（二）数学实验内容选择的标准

中学的数学知识是历史上经历了数百年乃至上千年探索结果的汇编，不可能逐一让学生去体验、探索、发现。有调查显示：代数函数、三角函数、平面几何、立体几何、解析几何是进行数学实验最多的内容，占中学数学实验的67.57%，同时70%左右进行数学实验的教师将数学实验用来“激发兴趣”和“客体感知”，而对“概念形成”、“结论推理”和“复习巩固”进行实验的则微乎其微。但事实上，中学生对数学知识的理解很大的障碍恰恰在于上述三个方面。因此，我们应当依据什么标准选择进行数学实验的内容仍是我们面临的课题。

（三）对信息技术环境下数学实验教学的客观评价

在多媒体手段的支持下，把我们的数学课堂教学变成一间功能齐全的“数学实验室”。其流程为：从实例出发—在计算机上做实验—发现规律—提出猜想—进行证明和论证。这是一个以问题为载体，以计算机为手段，以学生为主体的全新教学模式。它能体现数学发明、发现中具体与抽象的辩证关系，能充分展示“真实的数学”。在数学实验室里，学生从“听”数学的学习方式变成在教师的指导下“做”数学；通过实验学生可以理解数学问题的来龙去脉，以及它的发现、分析和解决过程，从感觉到理解，从意会到表述，从说明到证明，一切均可在眼前发生，数学的抽象变得易于理解，数学的严谨变得合情合理。数学实验缩短了学生与数学之间的距离，数学变得可爱而亲近了。同时，数学实验中也将更多的探索、分析、思考的任务交给了学生。但是，从短期来看，借助信息技术开展数学实验教学，不仅要花费大量的精力和时间，而且很难以提高学生的学习成绩来体现。必须承认实验教学的现实性、阶段性、层次性与渐进性。

（四）数学实验对学生产生的负迁移

虽然学生对数学实验表现出了浓厚的兴趣，但学生进行数学实验前后对其它数学知识却出现兴趣降低、因急于进行实验而忽视其它知识的学习等不良表现。如从对“勾股定理”的数学实验前的操作培训一开始，学生就开始忽视“中心对称和中心对称图形”的学习；实验结束后，学生在很长一段时间内，仍然沉浸在自己探索发现勾股定理的兴奋中，对后继的“平方根”等内容感到乏味、厌烦。这种负迁移效应因数学实验中计算机参与而更加明显，值得我们深思。

数学实验教学是一种新型的数学教学模式，这一教学模式的产生是现代数学发展的必然产物。“数学实验”活动为核心的数学教学，将使数学教学成为再创造、再发现的教学；它为学生们提供了主体参与，积极探索，大胆实践，勇于创新的学习环境；在改变了学生学习方式的同时，使学生的主体参与意识得以加强，使学生的创新意识得以提高。尽管这种教学方式正处于探索阶段，但数学本身的发展走向预示着在新的数学教学改革中，数学实验教学模式具有强大的生命力。

殷堰工，男，党总支书记，副教授，硕士生导师，主要研究方向为数学教育。

G712

A 文献标识码：1674-7747（2011）12-0030-04

[责任编辑 方翰青]