三角形的五个新巧合点

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(城关中学 四川富顺 643200) (昆明市第十四中学 云南昆明 650108)

三角形的五个新巧合点

●李显权●尤莉莎

(城关中学 四川富顺 643200) (昆明市第十四中学 云南昆明 650108)

文献[1]探讨了三角形的4个新巧合点，格外盎然有趣,本文再给出几个新巧合点，同样别致诱人.

图1

如图1,设△DEF为△ABC的3条外角平分线构成的三角形.

定理1如图1,设FP，DM，EN分别为△ABF,△BCD，△CAE的内角平分线,则AM，BN，CP三线共点.

证明如图1,在△BCD中，由正弦定理易得

再利用三角形内角平分线性质定理，可得

同理可得

三式相乘得

由Ceva逆定理，可知AM，BN，CP三线共点.

定理2如图1,设FP，DM，EN分别为△ABF,△BCD,△CAE的周界中线,则AM,BN,CP三线共点.

证明如图1,因为DM是△BCD的周界中线，所以

同理可得

于是

类似地

三式相乘得

由Ceva逆定理,可知AM,BN,CP三线共点.

定理3如图2,设HA,HB,HC分别为△BCD,△CAE,△ABF的垂心,HAM,HBN,HCP依次为△HABC,△HBCA,△HCAB的内角平分线,则AM,BN,CP三线共点.

证明如图2,由三角形内角平分线性质定理及文献[1]定理1证明过程中的：BHA=AHB,CHB=BHC,AHC=CHA,可得

由Ceva逆定理,可知AM,BN,CP三线共点.

定理4如图2,点HA,HB,HC同定理3,HAM,HBN,HCP依次为△HABC,HBCA,HCAB的周界中线,则AM,BN,CP三线共点.

证明过程与定理2类似,留给读者证明.

图2 图3

定理5如图3,设IA,IB,IC分别为△BCD,△CAE,△ABF的内心,IAM,IBN,ICP依次为△IABC,△IBCA,△ICAB的内角平分线,则AM,BN,CP三线共点.

由Ceva逆定理,可知AM,BN,CP三线共点.

[1] 杨先义.三角形中四个新的巧合点[J].中学数学研究,2010(4):47-48.